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[讨论] 五边形的面积平分点

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发表于 2016-11-7 21:43:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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从三角形的重心说起
众所周知,三角形ABC的重心G=(A+B+C)/3。
G一般被定义为三角形面积的几何中心,即是均质三角形板的重心。
但是,从公式上看,G也可理解为三点形ABC的质心(A、B、C三个质点等重)。
或曰:这有什么区别,不是当然的吗,还用多说吗?
胡子曰:那请试试四边形、五边形!

简单一试,四边形、五边形的两种重心果真有别!
容易证明,四边形当且仅当为平行四边形时,两心一心。

三角形的重心还有一条有趣的性质:与各顶点连线可平分三角形的面积。
易知,四边形当且仅当为平行四边形时,存在这样的面积平分点,即对角线交点。
五边形呢,面积平分点的存在自当更有所拘,而且条件只会更加复杂,一言难尽。

不过,即使对于边数更多的凸多边形,容易证明以下事实:
面积重心是顶点质心和面积平分点(如有)的一个三等分点。
记面积重心为G,顶点质心为M,则面积平分点=3G-2M.

我们的问题来了:什么时候点3G-2M才成为面积平分点呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-11-7 22:35:21 | 显示全部楼层

关于A=3G-2M的补充证明

如图所示,如果五边形`P_1P_2P_3P_4P_5`存在面积等分点A,
并且五个倚边三角形的重心为`G_1,G_2,G_3,G_4,G_5`,   `\D G_i=\frac{A+P_i+P_{i+1}}3`,(记`P_6=P_1`)
面积平分点.png
由于诸质点`G_i`等重(三角形面积),所以\[\D G=\frac{G_1+G_2+G_3+G_4+G_5}5=\frac23M+\frac{A}3\]即 G是M、A连线的一个三等分点,A=3G-2M。
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 楼主| 发表于 2016-11-8 06:57:45 | 显示全部楼层

庸俗的推广?

三边形的G、M、A三心合一的性质对于多边形不再成立的原因,是因为我们推广时走错了方向,囿于平面的缘故。
实际上,对于4面体,三心合一仍然成立。对于5个顶点,就要论4维空间的单纯形了。

高维时的成立,都是基于一维时该性质的显然性。

方向性错误,R.柯朗称之为庸俗的推广。
但是,这个错误的方向会不会另入奇境,别有一番风景呢?
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 楼主| 发表于 2016-11-8 11:43:56 | 显示全部楼层

为什么是五边形?

因为四边形只有平凡的面积平分点,具有非平凡面积平分点的多边形至少是五边形了。
所以,貌似五边形具有最紧致的约束。

所谓“紧致”,我们举几个例子来理解它。
例1:一般三角形恒有外接圆,但四边形就不一定了,
所以“四边形共圆的条件”是紧致的 , 而谈”五边形共圆的条件“就不紧致了,
问题显然可以归结为“四边形共圆的条件”。

例2:一般四边形恒有两条外接抛物线,但五边形就不一定了,
所以“五边形共抛物线的条件”是紧致的 , 而谈”六边形共抛物线的条件“就不紧致了,
问题显然可以归结为“五边形共抛物线的条件”。

例3:一般五边形恒有一条外接二次曲线,但是六边形就不一定了,
所以“六边形共二次曲线的条件”是紧致的 , 而谈”七边形共二次曲线的条件“就不紧致了,
问题显然可归结为“六边形共二次曲线的条件”。

我们用了“貌似”一词,盖因五边形的相对紧致性值得怀疑:六边形的面积平分点问题不能归结为五边形的问题。
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