已知 u 是模长为 1 的复数，求证：v1, v2 也是模长为 1 的复数。
已知 u 是模长为 1 的复数，\[
v_1 =\dfrac{-u^2+6u+(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20} ,
v_2 =\dfrac{-u^2+6u-(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20}
\]
求证： \( v_1, v_2 \) 也是模长为 1 的复数。 作代换
\
其中z是单位复数， 则
\[{v_1} =- \frac{{(319 + 120\sqrt 7 )( - 32 + 3\sqrt 7+ 31z)( - 8 + 3\sqrt 7+ z)}}{{31(32 + 3\sqrt 7- 31z)(8 + 3\sqrt 7- z)}}\]
\[{v_2} =- \frac{{(319 + 120\sqrt 7 )( - 32 + 3\sqrt 7- 31z)( - 8 + 3\sqrt 7- z)}}{{31(8 + 3\sqrt 7+ z)(32 + 3\sqrt 7+ 31z)}}\] 直接计算`v_1\bar v_1,v_2\bar v_2`不就完了，问个啥呢。
补充：咋算？所谓`u`是模长为1的复数，数学表达式即`u\bar u=1`, 将它代入`v_i\bar v_i`的表达式中化简就行了。 哦，还不行。会出现`u+\bar u,u^2+\bar u^2`这样的项。 本帖最后由 uk702 于 2023-4-3 11:08 编辑
hujunhua 发表于 2023-4-3 09:38
直接计算`v_1\bar v_1,v_2\bar v_2`不就完了，问个啥呢。
补充：咋算？所谓`u`是模长为1的复数，用数学 ...
好的！ 证出来了，多谢。
uk702 发表于 2023-4-3 11:06
好的！ 证出来了，多谢。
我就好奇你那个注意那儿的那个等式是怎么来的！
别的我不关心 TSC999 发表于 2023-4-3 22:28
对于 5# 楼的证明， 6# 楼的疑问是有道理的。因为当 \(u\) 是单位复数时，\(\sqrt{u^2}\) 有可能等于 \(u\) ...
继续瞎蒙，事实上，由于 v2 的模长也是 1，因此，直接将 \[
\sqrt{u^2-254 u + 1}
\]视作二值也没问题，取任何一个值最终算出来的值将是 v1 或 v2 之一，其模长都是 1。
在计算 v1 的共轭时，为什么取负值，有没有反例，不知。
本帖最后由 TSC999 于 2023-4-3 23:38 编辑
当 \(u\) 是单位复数时，有可能出现 \(\sqrt{u^2}=u\) 的情况，也有可能出现 \(\sqrt{u^2}=-u\) 的情况，但是不论是哪种情况，总有恒等式： \(u \sqrt{\frac{u^2 - 254 u + 1}{u^2}} = -\sqrt{u^2 - 254 u + 1}\)。
所以 5# 楼的证明是对的。 `u\bar u=1，z=\sqrt{u^2-254u+1}→\bar z=-z/u`
证明：`z=\sqrt{u^2-254u+1}=\sqrt{u(u+\bar u-254)}=\sqrt u·\sqrt r`
其中 `u+\bar u-254=:r`是个负实数，所以`\sqrt r` 是纯虚数，有\(\overline{\sqrt r}=-\sqrt r\)
所以 \(\bar z=\overline{\sqrt u}·\overline{\sqrt r}=\frac1{\sqrt u}·\left(-\sqrt r\right)=-\sqrt u·\sqrt r/u=-z/u\)
验算 \(z\bar z=z·(-z/u)=-z^2/u=-ur/u=-r>0\)
可见，上述结论可以推广至 `u\bar u=1，b>2, z=\sqrt{u^2-bu+1}→\bar z=-z/u`
hujunhua 发表于 2023-4-4 11:59
`u\bar u=1，z=\sqrt{u^2-254u+1}→\bar z=-z/u`
证明：`z=\sqrt{u^2-254u+1}=\sqrt{u(u+\bar u-254)}=\ ...
精彩，那主楼的公式也可以推广了:D
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