已知 u 是模长为 1 的复数，求证：v1, v2 也是模长为 1 的复数。

uk702

已知 u 是模长为 1 的复数，

\[
v_1 =\dfrac{-u^2+6u+(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20} ,  
v_2 =\dfrac{-u^2+6u-(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20}
\]

求证： \( v_1, v_2 \) 也是模长为 1 的复数。

creasson

作代换
\[u = \frac{{8 - 8{z^2} - 3\sqrt 7  - 3\sqrt 7 {z^2}}}{{8 - 8{z^2} + 3\sqrt 7  + 3\sqrt 7 {z^2}}}\]
其中z是单位复数， 则
\[{v_1} =  - \frac{{(319 + 120\sqrt 7 )( - 32 + 3\sqrt 7  + 31z)( - 8 + 3\sqrt 7  + z)}}{{31(32 + 3\sqrt 7  - 31z)(8 + 3\sqrt 7  - z)}}\]
\[{v_2} =  - \frac{{(319 + 120\sqrt 7 )( - 32 + 3\sqrt 7  - 31z)( - 8 + 3\sqrt 7  - z)}}{{31(8 + 3\sqrt 7  + z)(32 + 3\sqrt 7  + 31z)}}\]

hujunhua

直接计算`v_1\bar v_1,v_2\bar v_2`不就完了，问个啥呢。

补充：咋算？所谓`u`是模长为1的复数，数学表达式即`u\bar u=1`, 将它代入`v_i\bar v_i`的表达式中化简就行了。

hujunhua

哦，还不行。会出现`u+\bar u,u^2+\bar u^2`这样的项。

uk702

hujunhua 发表于 2023-4-3 09:38
直接计算`v_1\bar v_1,v_2\bar v_2`不就完了，问个啥呢。

补充：咋算？所谓`u`是模长为1的复数，用数学 ...

好的！ 证出来了，多谢。

nyy

uk702 发表于 2023-4-3 11:06
好的！ 证出来了，多谢。

我就好奇你那个注意那儿的那个等式是怎么来的！
别的我不关心

uk702

TSC999 发表于 2023-4-3 22:28
对于 5# 楼的证明， 6# 楼的疑问是有道理的。因为当 \(u\) 是单位复数时，\(\sqrt{u^2}\) 有可能等于 \(u\) ...

继续瞎蒙，事实上，由于 v2 的模长也是 1，因此，直接将 \[
\sqrt{u^2-254 u + 1}  
\]视作二值也没问题，取任何一个值最终算出来的值将是 v1 或 v2 之一，其模长都是 1。

在计算 v1 的共轭时，为什么取负值，有没有反例，不知。

TSC999

当 \(u\) 是单位复数时，有可能出现 \(\sqrt{u^2}=u\) 的情况，也有可能出现 \(\sqrt{u^2}=-u\) 的情况，但是不论是哪种情况，总有恒等式： \(u \sqrt{\frac{u^2 - 254 u + 1}{u^2}} = -\sqrt{u^2 - 254 u + 1}\)。
所以 5# 楼的证明是对的。

hujunhua

`u\bar u=1，z=\sqrt{u^2-254u+1}→\bar z=-z/u`

证明：`z=\sqrt{u^2-254u+1}=\sqrt{u(u+\bar u-254)}=\sqrt u·\sqrt r`

其中    `u+\bar u-254=:r`是个负实数，所以`\sqrt r` 是纯虚数，有\(\overline{\sqrt r}=-\sqrt r\)

所以    \(\bar z=\overline{\sqrt u}·\overline{\sqrt r}=\frac1{\sqrt u}·\left(-\sqrt r\right)=-\sqrt u·\sqrt r/u=-z/u\)

验算    \(z\bar z=z·(-z/u)=-z^2/u=-ur/u=-r>0\)

可见，上述结论可以推广至        `u\bar u=1，b>2, z=\sqrt{u^2-bu+1}→\bar z=-z/u`

葡萄糖

hujunhua 发表于 2023-4-4 11:59
`u\bar u=1，z=\sqrt{u^2-254u+1}→\bar z=-z/u`

证明：`z=\sqrt{u^2-254u+1}=\sqrt{u(u+\bar u-254)}=\ ...

精彩，那主楼的公式也可以推广了