微分方程求助
我在微分方程方面很是浅薄，因此向大家求助一道微分方程题目。y=f(x)
$x+2y*y'=2h*y'+(y')^2*x$
其中h是预先给定的常数。求满足条件的y的函数式。
其中我已经知道二次函数是满足条件的函数之一，我想知道有没有其他的函数？ 最近发现我研究的问题很多都要用到微分方程求解...... 1# 282842712474
原方程为关于y'的一元二次方程，解出来有两个表达式。
这两个表达式都可以通过换元法分别解出来的 好像不行吧。非线性微分方城不一定可以找到解析解的。 原方程等价于
$(xy'+h-y)^2=x^2+(h-y)^2$
设新的y=y-h
$(xy'-y)^2=x^2+y^2$ 本帖最后由 wayne 于 2009-10-30 17:41 编辑
接下来让$y=x*z$就是了,解为：
$y(x)=x*sinh(C +-lnx)+h$ $y(x)=x*sin+h$
这样? 接下来让$y=x*z$就是了,解为：
$y(x)=x*sinh(C +-lnx)+h$
wayne 发表于 2009-10-30 17:35 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
我怎么看不出一元二次方程的身影？ 另外，如果是
$\frac{(y')^2-1}{2y'}(a-x)+y=h$
结果又怎样？a、h为预先给定的常数？ 本帖最后由 数学星空 于 2009-10-31 11:51 编辑
用楼上同样的方法,可以求得
3 In(x_1)=In(3*z_1^2-1)+-(arsinh(z_1)-arctanh((z_1+sqrt(3))/(2*sqrt(1+z_1^2)))+arctanh((z_1-sqrt(3))/(2*(sqrt(1+z_1^2))))+c
其中:x_1=a-x z_1={y-h}/{a-x}
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