Ickiverar 发表于 2023-4-28 09:48:30

前n个素数的积大概是多少？

用MMA试了一下，前n个素数的积大概是 e^( 1.13... xlnx)，有没有更具体的或者渐近的解？

Log[ Product, {i, 1, n}] ] / ( n Log ) ~ 1.13

(刚刚在B站发现一个很有趣的数，https://www.bilibili.com/video/BV1ZT4y1C7xX，https://oeis.org/A249270)，想把它计算到10亿位，估计要求和的项数需要用到前n个素数积的近似值。

nyy 发表于 2023-4-28 10:10:55

第n个素数的大侠大概是nlog(n)
假设这个积是t，
那么log(t)=log(nlog(n))
求下积分，然后再exp，差不多就得到一个值。不会差太远

Ickiverar 发表于 2023-4-28 16:35:10

我发现一个精度极高的结论！
小于 x 的所有素数的积的自然对数约等于 x。

！！

Ickiverar 发表于 2023-4-28 17:55:34

定义 $S(n)$ 为不超过 $n$ 的所有素数的积的自然对数：
\
我猜想：
\

Ickiverar 发表于 2024-8-25 13:20:31

4#的猜想已经有结果了，是不成立的。
这篇论文
https://doi.org/10.7169%2Ffacm%2F1229619660

的第9页式4.9表明
\ , 这个下界已经比我的猜想要大一个logloglogn了。
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