前n个素数的积大概是多少？

Ickiverar

用MMA试了一下，前n个素数的积大概是 e^( 1.13... xlnx)，有没有更具体的或者渐近的解？

Log[ Product[Prime, {i, 1, n}] ] / ( n Log[n] ) ~ 1.13

(刚刚在B站发现一个很有趣的数，https://www.bilibili.com/video/BV1ZT4y1C7xX，https://oeis.org/A249270)，想把它计算到10亿位，估计要求和的项数需要用到前n个素数积的近似值。

nyy

第n个素数的大侠大概是nlog(n)
假设这个积是t，
那么log(t)=log(nlog(n))
求下积分，然后再exp，差不多就得到一个值。不会差太远

Ickiverar

我发现一个精度极高的结论！
小于 x 的所有素数的积的自然对数约等于 x。

！！

Ickiverar

定义 $S(n)$ 为不超过 $n$ 的所有素数的积的自然对数：
\[S(n)=\ln\left(\prod_{p\,\text{is prime}}^{p\le n}p\right)=\sum_{p\,\text{is prime}}^{p\le n}\ln p\]
我猜想：
\[0\lt n-S(n)\lt 2\sqrt{n},\quad n\text{ is prime or }n\ge 1423\]