关于某类特殊的不可约多项式
令 $p$ 为素数，$n$ 是整数，$2 \len < p$，如下类型多项式，很可能是不可约的
$x^p + nx + 1$ 验证代码
using Hecke
Qx, x = QQ["x"]
for p in range(3, step=2, stop=9999)
if isprime(p)
for n in range(1,p-1)
f = x^p + n*x + 1
if !isirreducible(f)
println("[$p, $n]")
end
end
end
end
目前跑到 p < 1000 均正确 添加一个已知类型的结论
$x^n + x + 1$ 当 $n \mod 3 = 0,1$ 时候是不可约多项式 这是为了寻找一些比较简单的高次代数数 现在开始用并发语句跑
using Distributed
addprocs(24)
@everywhere begin
using Hecke
Qx, x = QQ["x"]
end
a = parse(Int64, ARGS)
b = parse(Int64, ARGS)
for p in range(a, step=2, stop=b)
if isprime(p)
println("$p: ")
@sync @distributed for n in range(2, p - 1)
f = x^p + n * x + 1
if !isirreducible(f)
println("x^$p + $n x + 1 is reducible!")
end
end
end
end
现在用两个24核服务器在暴力枚举
1001-1999这个范围24线程花了4小时搜完，没有1#形式可约多项式 知乎大佬证明了该问题。
因此下面的一元多项式都不可约
$f(x) = x^m \pm nx \pm 1 \in \ZZ, m, n \in \ZZ, m > 2, n > 2$ $|n|=2， k \ge 1$
对于奇数次
$f(x) = x^{2k+1} - 2x + 1 = x^{2k+1} - x^2 + (x^2 -2x + 1) = x^2(x^{2k-1} - 1) + (x-1)^2$，可以被 $x - 1$整除
$f(x) = x^{2k+1} - 2x - 1 = x^{2k+1} + x^2 - (x^2 +2x + 1) = x^2(x^{2k-1} + 1) - (x+1)^2$，可以被$x + 1$整除
而
$f(x) = x^{2k+1} + 2x \pm 1$
由 7# 的方法易证不可约
对于偶数次
$f(x) = x^{2k} + 2x + 1 = x^2(x^{2k-2} - 1) + (x + 1)^2$，可以被$x + 1$整除
$f(x) = x^{2k} - 2x + 1 = x^2(x^{2k-2} - 1) + (x - 1)^2$，可以被$x - 1$整除
而
$f(x) = x^{2k} \pm 2x - 1$
由 7# 的方法易证不可约
$|n|=1$
当$k \ge 1$时
$f(x)=x^{3k+2}+x+1=x^{3k+2}-x^2+x^2+x+1=x^2(x^{3k}-1)+(x^2+x+1)$，易知可被 $x^2+x+1$整除
当$k \ge 0$时
$f(x)=x^{6k+5}+x-1=x^{6k+5}+x^2-x^2+x-1=x^2(x^{3(2k+1)}+1)-(x^2-x+1)$，易知可被 $x^2-x+1$整除
当$k \ge 1$时
$f(x)=x^{6k+2}-x+1=x^{6k+2}-x^2+x^2-x+1=x^2(x^{3(2k)}-1)+(x^2-x+1)=x^2(x^{3k}+1)(x^{3k}-1) + (x^2-x+1)$，易知可被 $x^2-x+1$整除
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