关于某类特殊的不可约多项式

无心人

令 $p$ 为素数，$n$ 是整数，$2 \le  n < p$，
如下类型多项式，很可能是不可约的
$x^p + nx + 1$

无心人

验证代码

1. using Hecke
   
2. 
   
3. Qx, x = QQ["x"]
   
4. 
   
5. for p in range(3, step=2, stop=9999)
   
6.     if isprime(p)
   
7.         for n in range(1,p-1)
   
8.             f = x^p + n*x + 1
   
9.             if !isirreducible(f)
   
10.                 println("[$p, $n]")
    
11.             end
    
12.         end
    
13.     end
    
14. end

复制代码

目前跑到 p < 1000 均正确

无心人

这是为了寻找一些比较简单的高次代数数

无心人

现在开始用并发语句跑

1. using Distributed
   
2. addprocs(24)
   
3. 
   
4. @everywhere begin
   
5.     using Hecke
   
6.     Qx, x = QQ["x"]
   
7. end
   
8. 
   
9. a = parse(Int64, ARGS[1])
   
10. b = parse(Int64, ARGS[2])
    
11. 
    
12. for p in range(a, step=2, stop=b)
    
13.     if isprime(p)
    
14.         println("$p: ")
    
15.         @sync @distributed for n in range(2, p - 1)
    
16.             f = x^p + n * x + 1
    
17.             if !isirreducible(f)
    
18.                 println("x^$p + $n x + 1 is reducible!")
    
19.             end
    
20.         end
    
21.     end
    
22. end
    
23. 
    

复制代码

无心人

现在用两个24核服务器在暴力枚举
1001-1999这个范围24线程花了4小时搜完，没有1#形式可约多项式

无心人

知乎大佬证明了该问题。

无心人

因此下面的一元多项式都不可约
$f(x) = x^m \pm nx \pm 1 \in \ZZ[x], m, n \in \ZZ, m > 2, n > 2$

无心人

$|n|=2， k \ge 1$
对于奇数次
$f(x) = x^{2k+1} - 2x + 1 = x^{2k+1} - x^2 + (x^2 -2x + 1) = x^2(x^{2k-1} - 1) + (x-1)^2$，可以被 $x - 1$整除
$f(x) = x^{2k+1} - 2x - 1 = x^{2k+1} + x^2 - (x^2 +2x + 1) = x^2(x^{2k-1} + 1) - (x+1)^2$，可以被$x + 1$整除
而
$f(x) = x^{2k+1} + 2x \pm 1$
由 7# 的方法易证不可约

对于偶数次
$f(x) = x^{2k} + 2x + 1 = x^2(x^{2k-2} - 1) + (x + 1)^2$，可以被$x + 1$整除
$f(x) = x^{2k} - 2x + 1 = x^2(x^{2k-2} - 1) + (x - 1)^2$，可以被$x - 1$整除
而
$f(x) = x^{2k} \pm 2x - 1$
由 7# 的方法易证不可约

$m=2$易知
$x^2+2x-1$和$x^2-2x-1$不可约

无心人

$|n|=1$
当$k \ge 1$时
$f(x)=x^{3k+2}+x+1=x^{3k+2}-x^2+x^2+x+1=x^2(x^{3k}-1)+(x^2+x+1)$，易知可被 $x^2+x+1$整除
当$k \ge 0$时
$f(x)=x^{6k+5}+x-1=x^{6k+5}+x^2-x^2+x-1=x^2(x^{3(2k+1)}+1)-(x^2-x+1)$，易知可被 $x^2-x+1$整除
当$k \ge 1$时
$f(x)=x^{6k+2}-x+1=x^{6k+2}-x^2+x^2-x+1=x^2(x^{3(2k)}-1)+(x^2-x+1)=x^2(x^{3k}+1)(x^{3k}-1) + (x^2-x+1)$，易知可被 $x^2-x+1$整除

无心人

$|n|=1$尚有
$f(x)=x^{3k} \pm x \pm 1, k \ge 1$
$f(x)=x^{3k+1} \pm x \pm 1, k \ge 1$
$f(x)=x^{6k+5} - x \pm 1, k \ge 0$
$f(x)=x^{6k+2} \pm x - 1, k \ge 1$
几种形式

代入$-x$可知$f(x)=x^{6k+2} - x - 1, k \ge 1$与$f(x)=x^{6k+2} + x - 1, k \ge 1$等价
即$f(x)=x^{6k+2} \pm x - 1, k \ge 1$只需要证明$f(x)=x^{6k+2} - x - 1, k \ge 1$不可约

同理可知$f(x)=x^{6k+5} - x \pm 1, k \ge 0$不可约
只需要证明$f(x)=x^{6k+5} - x - 1, k \ge 0$或者$f(x)=x^{6k+5} - x + 1, k \ge 0$其中一个不可约即可