几何小题
已知两个正方形面积分别是4和1,求 夹角beta和圆半径有答案吗？还是自己随意出的题目？ Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,定义圆的方程*)
circle:=(x-x0)^2+y^2-r0^2(*(x0,0)为圆心,r0为半径*)
(*AD向量=(x1,y1),计算AC向量*)
{x2,y2}=Sqrt*RotationMatrix[-45deg].{x1,y1}(*AD向量顺时针旋转45°再乘以根号2,得到AD向量*)
{xd,yd}={2,1}+{x1,y1}(*D点坐标*)
{xc,yc}={2,1}+{x2,y2}(*C点坐标*)
(*列方程组解方程组来解决问题*)
ans=Solve[{
circle==0,(*C点在圆上*)
circle==0,(*D点在圆上*)
circle==0,(*(0,1)点在圆上*)
x1^2+y1^2==1,(*AD=1*)
r0>0(*限制变量范围*)
},{x0,r0,x1,y1}]//FullSimplify
假设圆的方程为
\[-\text{r0}^2+(x-\text{x0})^2+y^2==0\]
然后解析几何来解决问题
有两组解，
\[\begin{array}{llll}
\text{x0}\to 1-\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{r0}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} & \text{x1}\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y1}\to -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\text{x0}\to 1+\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{r0}\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} & \text{x1}\to \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y1}\to \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{x0}\to 0.292893 & \text{r0}\to 1.04201 & \text{x1}\to -0.707107 & \text{y1}\to -0.707107 \\
\text{x0}\to 1.70711 & \text{r0}\to 1.97844 & \text{x1}\to 0.707107 & \text{y1}\to 0.707107 \\
\end{array}\]
代码非常的清晰，不需要我过多解释，再配上图，很容易就看懂，两组解都符合要求。
那个角度为β=45°，只要计算出结果，那么很容易就的出来这个结论！
你要是有不用解析几何、方程组的思路就能解决的思路，我就服了你。
反正我是没那个本事，我习惯了将思考留给自己，将复杂的计算留给计算机 @TSC999 来来来，用你的复数方法来尝试解决一下这个问题！ 我似乎得到了一个结论：如果任意两个正方形共享一个顶点，并且四个点在圆上，那么必然那个β=45 @王守恩 老同志，有能耐，你给我整一个解答出来呀 用复数法很简单。 本帖最后由 王守恩 于 2023-8-18 14:49 编辑
NSolve[{R==1/(2Sin)==1/Sin==x/Sin==(2+Sqrt)/(2Sin),a+b+3c==Pi,(2x)^2==1^2+2^2+2*1*2Cos,1>a>0,1>b>0,1>d>0,x>0},{R,x,a,b,c,d}]
{{R -> 1.97844, x -> 1.39897, a -> 0.255495, b -> 0.529903, c -> 0.785398, d -> 0.785398}} 本帖最后由 王守恩 于 2023-8-18 15:51 编辑
NSolve[{2 R == x/Sin[\/4] == 1/Sin == 2/Sin[\/4 - a], 1 > a > 0}, {R, x, a}]
{{a -> 0.255495, x -> 2.79793, R -> 1.97844}}
NSolve[{2 R == x/Sin[\/4] == 1/Sin == 2/Sin[\/4 - a] == (2 + Sqrt)/Sin[\/4 + a], 1 > a > 0}, {R, x, a}]
NSolve[{2 R == 1/Sin == 2/Sin[\/4 - a] , 1 > a > 0}, {R, a}]
x可以去掉，2个未知数只要留2项就可以。