几何小题

wayne

已知两个正方形面积分别是4和1,求 夹角beta和圆半径

nyy

有答案吗？还是自己随意出的题目？

nyy

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,定义圆的方程*)
   
4. circle[x_,y_]:=(x-x0)^2+y^2-r0^2(*(x0,0)为圆心,r0为半径*)
   
5. (*AD向量=(x1,y1),计算AC向量*)
   
6. {x2,y2}=Sqrt[2]*RotationMatrix[-45deg].{x1,y1}(*AD向量顺时针旋转45°再乘以根号2,得到AD向量*)
   
7. {xd,yd}={2,1}+{x1,y1}(*D点坐标*)
   
8. {xc,yc}={2,1}+{x2,y2}(*C点坐标*)
   
9. (*列方程组解方程组来解决问题*)
   
10. ans=Solve[{
    
11.     circle[xc,yc]==0,(*C点在圆上*)
    
12.     circle[xd,yd]==0,(*D点在圆上*)
    
13.     circle[0,1]==0,(*(0,1)点在圆上*)
    
14.     x1^2+y1^2==1,(*AD=1*)
    
15.     r0>0(*限制变量范围*)
    
16. },{x0,r0,x1,y1}]//FullSimplify
    

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假设圆的方程为
\[-\text{r0}^2+(x-\text{x0})^2+y^2==0\]
然后解析几何来解决问题

有两组解，
\[\begin{array}{llll}
\text{x0}\to 1-\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{r0}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} & \text{x1}\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y1}\to -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\text{x0}\to 1+\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{r0}\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} & \text{x1}\to \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y1}\to \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{x0}\to 0.292893 & \text{r0}\to 1.04201 & \text{x1}\to -0.707107 & \text{y1}\to -0.707107 \\
\text{x0}\to 1.70711 & \text{r0}\to 1.97844 & \text{x1}\to 0.707107 & \text{y1}\to 0.707107 \\
\end{array}\]

代码非常的清晰，不需要我过多解释，再配上图，很容易就看懂，两组解都符合要求。
那个角度为β=45°，只要计算出结果，那么很容易就的出来这个结论！

nyy

你要是有不用解析几何、方程组的思路就能解决的思路，我就服了你。
反正我是没那个本事，我习惯了将思考留给自己，将复杂的计算留给计算机

nyy

@TSC999 来来来，用你的复数方法来尝试解决一下这个问题！

nyy

我似乎得到了一个结论：如果任意两个正方形共享一个顶点，并且四个点在圆上，那么必然那个β=45

nyy

@王守恩 老同志，有能耐，你给我整一个解答出来呀

aimisiyou

用复数法很简单。

王守恩

1. NSolve[{R==1/(2Sin[a])==1/Sin[b]==x/Sin[c]==(2+Sqrt[2])/(2Sin[a+c]),a+b+3c==Pi,(2x)^2==1^2+2^2+2*1*2Cos[d],1>a>0,1>b>0,1>d>0,x>0},{R,x,a,b,c,d}]

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{{R -> 1.97844, x -> 1.39897, a -> 0.255495, b -> 0.529903, c -> 0.785398, d -> 0.785398}}

王守恩

1. NSolve[{2 R == x/Sin[\[Pi]/4] == 1/Sin[a] == 2/Sin[\[Pi]/4 - a], 1 > a > 0}, {R, x, a}]

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{{a -> 0.255495, x -> 2.79793, R -> 1.97844}}
NSolve[{2 R == x/Sin[\[Pi]/4] == 1/Sin[a] == 2/Sin[\[Pi]/4 - a] == (2 + Sqrt[2])/Sin[\[Pi]/4 + a], 1 > a > 0}, {R, x, a}]
NSolve[{2 R == 1/Sin[a] == 2/Sin[\[Pi]/4 - a] , 1 > a > 0}, {R, a}]
x可以去掉，2个未知数只要留2项就可以。