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[讨论] 几何小题

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发表于 2023-8-18 12:27:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知两个正方形面积分别是4和1,求 夹角beta和圆半径
Screenshot 2023-08-18 122610.png

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参与人数 1威望 +3 金币 +3 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
nyy + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 很有意思的题目!我原本以为无解的

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 13:44:58 | 显示全部楼层
有答案吗?还是自己随意出的题目?

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有答案。你把图画一下答案就来了。  发表于 2023-8-18 14:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 14:12:56 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,定义圆的方程*)
  4. circle[x_,y_]:=(x-x0)^2+y^2-r0^2(*(x0,0)为圆心,r0为半径*)
  5. (*AD向量=(x1,y1),计算AC向量*)
  6. {x2,y2}=Sqrt[2]*RotationMatrix[-45deg].{x1,y1}(*AD向量顺时针旋转45°再乘以根号2,得到AD向量*)
  7. {xd,yd}={2,1}+{x1,y1}(*D点坐标*)
  8. {xc,yc}={2,1}+{x2,y2}(*C点坐标*)
  9. (*列方程组解方程组来解决问题*)
  10. ans=Solve[{
  11.     circle[xc,yc]==0,(*C点在圆上*)
  12.     circle[xd,yd]==0,(*D点在圆上*)
  13.     circle[0,1]==0,(*(0,1)点在圆上*)
  14.     x1^2+y1^2==1,(*AD=1*)
  15.     r0>0(*限制变量范围*)
  16. },{x0,r0,x1,y1}]//FullSimplify
复制代码


假设圆的方程为
\[-\text{r0}^2+(x-\text{x0})^2+y^2==0\]
然后解析几何来解决问题

有两组解,
\[\begin{array}{llll}
\text{x0}\to 1-\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{r0}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} & \text{x1}\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y1}\to -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\text{x0}\to 1+\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{r0}\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} & \text{x1}\to \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y1}\to \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{x0}\to 0.292893 & \text{r0}\to 1.04201 & \text{x1}\to -0.707107 & \text{y1}\to -0.707107 \\
\text{x0}\to 1.70711 & \text{r0}\to 1.97844 & \text{x1}\to 0.707107 & \text{y1}\to 0.707107 \\
\end{array}\]

代码非常的清晰,不需要我过多解释,再配上图,很容易就看懂,两组解都符合要求。
那个角度为β=45°,只要计算出结果,那么很容易就的出来这个结论!


QQ截图20230818140749.png

点评

请问这个里面用的是什么软件计算出来的结果?  发表于 2023-8-21 19:23
nyy
令人意外!错别字了!  发表于 2023-8-18 16:19
nyy
宁人意外的居然是有两组解  发表于 2023-8-18 15:01
nyy
r0为圆的半径  发表于 2023-8-18 14:23
nyy
AD=(x1,y1),则AC={x1 + y1, -x1 + y1}  发表于 2023-8-18 14:21
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 14:16:36 | 显示全部楼层
你要是有不用解析几何、方程组的思路就能解决的思路,我就服了你。
反正我是没那个本事,我习惯了将思考留给自己,将复杂的计算留给计算机
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 14:19:27 | 显示全部楼层
@TSC999 来来来,用你的复数方法来尝试解决一下这个问题!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 14:31:31 | 显示全部楼层
我似乎得到了一个结论:如果任意两个正方形共享一个顶点,并且四个点在圆上,那么必然那个β=45

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nyy
根据18楼的行列式的结果2 (a-b) (a^2+b^2-4)=0必然有a=b或者a^2+b^2=4  发表于 2023-8-25 15:10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 14:37:59 | 显示全部楼层
@王守恩 老同志,有能耐,你给我整一个解答出来呀

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nyy
@gxqcn你自己把你的信息放在你的网站上,然后居然说我有窥隐私癖,你不觉得你很不讲道理吗?  发表于 2023-8-21 11:50
你是不是觉得我这个老同志也烦你?而现实是,更多的是你在烦我。再说,需要你提醒我年龄么?苏南规矩,生日按虚岁过,并不需等到明年。你不觉自己有严重的窥隐(私)癖么?招人讨厌!  发表于 2023-8-18 15:49
nyy
突然发现你明年就五十大寿了,也算是老同志了,@gxqcn  发表于 2023-8-18 15:35
nyy
目前生活中没老同志,烂老同志是以前,现在没老人烦我,很爽!  发表于 2023-8-18 15:23
所以,在网上你就搞不会了?你的签名里不写着“烂老同志”么?典型的信口雌黄,错而不改  发表于 2023-8-18 15:11

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参与人数 1贡献 -6 鲜花 -6 收起 理由
mathe -6 -6 没有礼貌

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 14:43:11 | 显示全部楼层
用复数法很简单。

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nyy
啥都不说,赶紧整个回答给我看看  发表于 2023-8-18 14:44
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2023-8-18 14:45:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2023-8-18 14:49 编辑
  1. NSolve[{R==1/(2Sin[a])==1/Sin[b]==x/Sin[c]==(2+Sqrt[2])/(2Sin[a+c]),a+b+3c==Pi,(2x)^2==1^2+2^2+2*1*2Cos[d],1>a>0,1>b>0,1>d>0,x>0},{R,x,a,b,c,d}]
复制代码

{{R -> 1.97844, x -> 1.39897, a -> 0.255495, b -> 0.529903, c -> 0.785398, d -> 0.785398}}

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nyy
配图!!!思路!!!  发表于 2023-9-4 11:10
这个算式复杂了,没必要这样复杂,看10楼。  发表于 2023-8-24 11:15
nyy
老同志,把你的解释解释  发表于 2023-8-24 11:05
nyy
你的软件啥版本,我的软件解了半天没出结果  发表于 2023-8-18 15:04
nyy
一定要写注释,你的代码只有你自己能懂  发表于 2023-8-18 14:54
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发表于 2023-8-18 15:06:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2023-8-18 15:51 编辑
  1. NSolve[{2 R == x/Sin[\[Pi]/4] == 1/Sin[a] == 2/Sin[\[Pi]/4 - a], 1 > a > 0}, {R, x, a}]
复制代码

{{a -> 0.255495, x -> 2.79793, R -> 1.97844}}
NSolve[{2 R == x/Sin[\[Pi]/4] == 1/Sin[a] == 2/Sin[\[Pi]/4 - a] == (2 + Sqrt[2])/Sin[\[Pi]/4 + a], 1 > a > 0}, {R, x, a}]
NSolve[{2 R == 1/Sin[a] == 2/Sin[\[Pi]/4 - a] , 1 > a > 0}, {R, a}]
x可以去掉,2个未知数只要留2项就可以。

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45,瞪一瞪眼就出来了(太笨了)。看1楼:作”1“的2条对角线(且延长),可得平行四边形,可得3点共线...  发表于 2023-8-18 16:00
nyy
思路思路思路,我不需要结果,我需要思路  发表于 2023-8-18 15:54
nyy
赶紧把思路说一下,我需要的是思路  发表于 2023-8-18 15:47
45,瞪一瞪眼就出来了。  发表于 2023-8-18 15:42
nyy
结果对没用,还必须有分析思路,因为你很可能是知道了我算的那个45°之后,然后假设那个45°已知然后列方程算出来的结果,所以你的分析思路很重要  发表于 2023-8-18 15:34
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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