几何小题

aimisiyou

根据四点共圆，可以列出关于角度Q的等式，从而求出Q值。

nyy

王守恩 发表于 2023-8-18 15:06
{{a -> 0.255495, x -> 2.79793, R -> 1.97844}}
NSolve[{2 R == x/Sin[\/4] == 1/Sin[a] == 2/Sin[\/4  ...

1、配图！不会电脑画图，就手工画个图、拍个照，然后传到网上来。
2、说思路。

你的答案看起来是对的，但是我怀疑你的是凑答案，
所以你是否凑答案，关键在于你如何得到答案的

nyy

下周一再贴一个办法！

Jack315

【求解过程】
借用 11# 的图：


大正方形的坐标已知；小正方形的坐标是角度 β 的函数。
设圆的方程为：\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\)
两个正方程都有两个点在此圆上，
即有四个点坐标的值满足圆的方程。
联立此四个方程可解出四个未知变量：\(x_0,y_0,R,\beta\) 。

求解方程组的代码：

1. 解 = FindRoot[{
   
2.    (*方程组*)
   
3.    (-2 - x)^2 + (0 - y)^2 - r^2,
   
4.    (-2 - x)^2 + (-2 - y)^2 - r^2,
   
5.    (Sin[\[Beta]] + Cos[\[Beta]] - x)^2 + (Sin[\[Beta]] -
   
6.       Cos[\[Beta]] - y)^2 - r^2,
   
7.    (Cos[\[Beta]] - x)^2 + (Sin[\[Beta]] - y)^2 - r^2},
   
8.   (*查找根的出发地*)
   
9.   {{x, -1}, {y, -2}, {r, 1}, {\[Beta], \[Pi]/6}}]

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得到的解为：

1. {x -> -0.292893, y -> -1., r -> 1.97844, \[Beta] -> 0.785398}

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即圆心为 (-0.2929, -1.0000)，半径为 1.9784，角度为 45 度。

【画图代码】
点坐标替换规则：

1. 点坐标 = {
   
2.   xa -> -2, ya -> 0,
   
3.   xb -> -2, yb -> -2,
   
4.   xc -> 0, yc -> -2,
   
5.   xd -> Sin[\[Beta]], yd -> -Cos[\[Beta]],
   
6.   xe -> Sin[\[Beta]] + Cos[\[Beta]], ye -> Sin[\[Beta]] - Cos[\[Beta]],
   
7.   xf -> Cos[\[Beta]], yf -> Sin[\[Beta]]}

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画解的代码：

1. Graphics[{
   
2.     (*画圆*)
   
3.     Circle[{x, y}, r],
   
4.     (*画大正方形*)
   
5.     Line[{{0, 0}, {xa, ya}}],
   
6.     Line[{{xa, ya}, {xb, yb}}],
   
7.     Line[{{xb, yb}, {xc, yc}}],
   
8.     Line[{{xc, yc}, {0, 0}}],
   
9.     (*画小正方形*)
   
10.     Line[{{0, 0}, {xd, yd}}],
    
11.     Line[{{xd, yd}, {xe, ye}}],
    
12.     Line[{{xe, ye}, {xf, yf}}],
    
13.     Line[{{xf, yf}, {0, 0}}]}] /. 点坐标 /. 解

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nyy

4点共圆，有行列式等于零，有复数的4点共圆条件，还有托勒密定理。

Jack315

【第二个解的求解过程】
借用 3# 的图（点的字母标得不一样）：


把题图中的小正方形顺时针转 180 度后，就得到了这个图。
令 \(\beta=\alpha+\pi\)，即 \(\alpha=\beta-\pi\) 。
这样小正方形的坐标可以用 \(\alpha\) 来表示。
同样的方法解方程组……

求解方程组的代码：

1. 解 = FindRoot[{
   
2.    (*方程组*)
   
3.    (-2 - x)^2 + (0 - y)^2 - r^2,
   
4.    (-2 - x)^2 + (-2 - y)^2 - r^2,
   
5.    (-Sin[\[Alpha]] - Cos[\[Alpha]] - x)^2 + (-Sin[\[Alpha]] +
   
6.       Cos[\[Alpha]] - y)^2 - r^2,
   
7.    (-Cos[\[Alpha]] - x)^2 + (-Sin[\[Alpha]] - y)^2 - r^2},
   
8.   (*查找根的出发地*)
   
9.   {{x, -0.5}, {y, -1}, {r, 1}, {\[Alpha], (3 \[Pi])/4}}]

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得到的解为：

1. {x -> -1.70711, y -> -1., r -> 1.04201, \[Alpha] -> 0.785398}

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即圆心为 (-1.7071, -1.0000)，半径为 1.0420，角度为 45+180=225 度。

【画图代码】
点坐标替换规则：

1. 点坐标 = {
   
2.   xa -> -2, ya -> 0,
   
3.   xb -> -2, yb -> -2,
   
4.   xc -> 0, yc -> -2,
   
5.   xd -> -Sin[\[Alpha]], yd -> Cos[\[Alpha]],
   
6.   xe -> -Sin[\[Alpha]] - Cos[\[Alpha]],
   
7.   ye -> -Sin[\[Alpha]] + Cos[\[Alpha]],
   
8.   xf -> -Cos[\[Alpha]], yf -> -Sin[\[Alpha]]}

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画解的代码（这部分代码没变）：

1. Graphics[{
   
2.     (*画圆*)
   
3.     Circle[{x, y}, r],
   
4.     (*画大正方形*)
   
5.     Line[{{0, 0}, {xa, ya}}],
   
6.     Line[{{xa, ya}, {xb, yb}}],
   
7.     Line[{{xb, yb}, {xc, yc}}],
   
8.     Line[{{xc, yc}, {0, 0}}],
   
9.     (*画小正方形*)
   
10.     Line[{{0, 0}, {xd, yd}}],
    
11.     Line[{{xd, yd}, {xe, ye}}],
    
12.     Line[{{xe, ye}, {xf, yf}}],
    
13.     Line[{{xf, yf}, {0, 0}}]}] /. 点坐标 /. 解

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王守恩

补充10#。圆外接四边形ABCD,O为AC,BD交点,AB=AO=2,CD=DO=1,

由三角形AOD:\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(b)}=\frac{AD}{\sin(a+b)}\)   (1)

由三角形ACD:\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{AD}{\cos(a+b)}=\frac{AC}{\cos(b)}\)   (2)

综合(1),(2):\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(b)}=\frac{AD}{\sin(a+b)}=\frac{AD}{\cos(a+b)}\)  (3)

由(3):\(\D\frac{AD}{\sin(a+b)}=\frac{AD}{\cos(a+b)}\)可知\(a+b=\pi/4\)

由(3):\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(45-a)}=2R\)  可知  \(2R=\sqrt{10+4\sqrt{2}}\)

这样也可以:\(\D(2R)^2=1^2+(1+2\sqrt{2})^2=2^2+(2+\sqrt{2})^2\)

若1=n,2=m,可以有:\(\D(2R)^2=n^2+(n+m\sqrt{2})^2=m^2+(m+n\sqrt{2})^2\)

nyy

aimisiyou 发表于 2023-8-18 15:33
根据四点共圆，可以列出关于角度Q的等式，从而求出Q值。

利用复数的行列式与复数四点共圆条件，来判定四点共圆。

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,输入z=a+b*I,得到圆方程(a-x0)^2+(b-y0)^2-r0^2*)
   
3. zCircle[z_]:=Module[{a,b},
   
4.     {a,b}=ComplexExpand@ReIm[z];(*得到实数部分、虚数部分*)
   
5.     (a-x0)^2+(b-y0)^2-r0^2(*得到圆的方程*)
   
6. ]
   
7. (*圆上的四个复数点赋值*)
   
8. z1=-2-2*I;
   
9. z2=-2;
   
10. z3=a+b*I;
    
11. z4=z3*(1-I);(*顺时针旋转45°,放大根号2倍*)
    
12. (*得到四点共圆矩阵*)
    
13. aaa={#1^2+#2^2,#1,#2,1}&@@@ComplexExpand@ReIm[{z1,z2,z3,z4}]
    
14. (*利用行列式等列方程组解决问题*)
    
15. ans=Solve[
    
16. {
    
17.     Det[aaa]==0,(*四点共圆的矩阵对应的行列式等于零*)
    
18.     zCircle[z1]==0,(*z1在圆上*)
    
19.     zCircle[z2]==0,(*z2在圆上*)
    
20.     zCircle[z3]==0,(*z3在圆上*)
    
21.     a^2+b^2==1,(*长度=1*)
    
22.     r0>0(*限制变量范围*)
    
23. },{a,b,x0,y0,r0}]//FullSimplify
    
24. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
25. 
    
26. (*得到四点共圆的复数条件,表达式的虚部等于零*)
    
27. bbb=ComplexExpand@Im[(z1-z2)(z3-z4)/((z1-z3)(z2-z4))]//Factor
    
28. (*利用复数四点共圆条件列方程组来解决问题*)
    
29. ccc=Solve[{
    
30.     bbb==0,(*虚部等于零*)
    
31.     a^2+b^2==1,(*长度=1*)
    
32.     zCircle[z1]==0,(*z1在圆上*)
    
33.     zCircle[z2]==0,(*z2在圆上*)
    
34.     zCircle[z3]==0,(*z3在圆上*)
    
35.     r0>0(*限制变量范围*)
    
36. },{a,b,x0,y0,r0}]//FullSimplify
    
37. Grid[ccc,Alignment->Left](*列表显示*)
    

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运行结果
四点共圆矩阵是
\[\left(
\begin{array}{cccc}
8 & -2 & -2 & 1 \\
4 & -2 & 0 & 1 \\
a^2+b^2 & a & b & 1 \\
2 \left(a^2+b^2\right) & a+b & b-a & 1 \\
\end{array}
\right)\]
行列式结果
\[2 (a-b) \left(a^2+b^2-4\right)\]
方程组求解结果是
\[\begin{array}{lllll}
a\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to -1-\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} \\
a\to \frac{1}{\sqrt{2}} & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to \frac{1}{\sqrt{2}}-1 & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} \\
\end{array}\]

复数四点共圆的条件是下面的行列式等于零，也就是虚部等于零。
\[\frac{(a-b) \left(a^2+b^2-4\right)}{\left(a^2+2 a+b^2+2 b+2\right) \left(a^2+4 a+b^2+4 b+8\right)}=0\]
方程组结果
\[\begin{array}{lllll}
a\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to -1-\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} \\
a\to \frac{1}{\sqrt{2}} & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to \frac{1}{\sqrt{2}}-1 & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} \\
\end{array}\]

四点共圆的复数条件是
\[\frac{(\text{z1}-\text{z2}) (\text{z3}-\text{z4})}{(\text{z1}-\text{z3}) (\text{z2}-\text{z4})}的虚部=0\]
四点共圆的复数判定条件见：
运用复数判断四点共圆
https://zhuanlan.zhihu.com/p/399820673

nyy

王守恩 发表于 2023-8-20 18:35
补充10#。圆外接四边形ABCD,O为AC,BD交点,AB=AO=2,CD=DO=1,

由三角形AOD:\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2 ...

请恕我直言：
你的方法太WC了！
你假设
圆外接四边形ABCD,O为AC,BD交点,AB=AO=2,CD=DO=1
你在你的方法中，假设O为AC、BD的交点，然后你又AO=2，DO=1
很显然，你把AC、BD的交点与两个正方形的公共点当成一个点了。

而这个条件是题目中没有给的。你这么一假设，无形中让问题简化了很多。
果然不出我所料，你就是在凑答案！

这一向你要解题过程，然后你就露馅了！

nyy

另外一种办法来了：
各种变量见图片，是由得到结果后，想到的办法

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. ans=Solve[{
   
3.     a==(1/2)*Tan[beta],
   
4.     b==(1/2)/Cos[beta],
   
5.     b+c==1,
   
6.     d==c/Sin[beta],
   
7.     e==c/Tan[beta],
   
8.     R^2==1^2+(2-e)^2==(d+a+1)^2+(1/2)^2,
   
9.     0<=beta<2*Pi&&R>0(*限制变量范围*)
   
10. },{beta,R,a,b,c,d,e}]//FullSimplify
    
11. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{lllllll}
\text{beta}\to \frac{\pi }{4} & R\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} & a\to \frac{1}{2} & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 1-\frac{1}{\sqrt{2}} & d\to \sqrt{2}-1 & e\to 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\text{beta}\to \frac{5 \pi }{4} & R\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} & a\to \frac{1}{2} & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 1+\frac{1}{\sqrt{2}} & d\to -\sqrt{2}-1 & e\to 1+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\]

得到两组解，解的R都是正确的，但是第二组解的beta是不正确的，
b、d的长度都小于零，应该说是没意义的，不知道为什么还能得到正确的R