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楼主: wayne

[讨论] 几何小题

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发表于 2023-8-18 15:33:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2023-8-18 15:37 编辑

根据四点共圆,可以列出关于角度Q的等式,从而求出Q值。
321.png
456.png

点评

nyy
四点共圆,我认为行列式与复数的那个判别方法完全是一样的  发表于 2023-8-21 15:31
对对对,你说的都对。  发表于 2023-8-18 23:10
nyy
我觉得本质上可能一样的。我都是用软件算的。走没走弯路我也不知道。反正我觉得算的挺快的。  发表于 2023-8-18 20:05
比你少走些弯路。  发表于 2023-8-18 19:26
nyy
你这个思路,与我的解析几何思路,没多大本质的区别  发表于 2023-8-18 15:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-18 16:08:52 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2023-8-18 15:06
{{a -> 0.255495, x -> 2.79793, R -> 1.97844}}
NSolve[{2 R == x/Sin[\/4] == 1/Sin[a] == 2/Sin[\/4  ...

1、配图!不会电脑画图,就手工画个图、拍个照,然后传到网上来。
2、说思路。

你的答案看起来是对的,但是我怀疑你的是凑答案,
所以你是否凑答案,关键在于你如何得到答案的
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发表于 2023-8-19 08:37:03 | 显示全部楼层
下周一再贴一个办法!

点评

星期一,天气晴…  发表于 2023-8-19 10:19
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发表于 2023-8-19 11:30:23 | 显示全部楼层
【求解过程】
借用 11# 的图:


大正方形的坐标已知;小正方形的坐标是角度 β 的函数。
设圆的方程为:\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\)
两个正方程都有两个点在此圆上,
即有四个点坐标的值满足圆的方程。
联立此四个方程可解出四个未知变量:\(x_0,y_0,R,\beta\) 。

求解方程组的代码:
  1. 解 = FindRoot[{
  2.    (*方程组*)
  3.    (-2 - x)^2 + (0 - y)^2 - r^2,
  4.    (-2 - x)^2 + (-2 - y)^2 - r^2,
  5.    (Sin[\[Beta]] + Cos[\[Beta]] - x)^2 + (Sin[\[Beta]] -
  6.       Cos[\[Beta]] - y)^2 - r^2,
  7.    (Cos[\[Beta]] - x)^2 + (Sin[\[Beta]] - y)^2 - r^2},
  8.   (*查找根的出发地*)
  9.   {{x, -1}, {y, -2}, {r, 1}, {\[Beta], \[Pi]/6}}]
复制代码


得到的解为:
  1. {x -> -0.292893, y -> -1., r -> 1.97844, \[Beta] -> 0.785398}
复制代码

即圆心为 (-0.2929, -1.0000),半径为 1.9784,角度为 45 度。

【画图代码】
点坐标替换规则:
  1. 点坐标 = {
  2.   xa -> -2, ya -> 0,
  3.   xb -> -2, yb -> -2,
  4.   xc -> 0, yc -> -2,
  5.   xd -> Sin[\[Beta]], yd -> -Cos[\[Beta]],
  6.   xe -> Sin[\[Beta]] + Cos[\[Beta]], ye -> Sin[\[Beta]] - Cos[\[Beta]],
  7.   xf -> Cos[\[Beta]], yf -> Sin[\[Beta]]}
复制代码


画解的代码:
  1. Graphics[{
  2.     (*画圆*)
  3.     Circle[{x, y}, r],
  4.     (*画大正方形*)
  5.     Line[{{0, 0}, {xa, ya}}],
  6.     Line[{{xa, ya}, {xb, yb}}],
  7.     Line[{{xb, yb}, {xc, yc}}],
  8.     Line[{{xc, yc}, {0, 0}}],
  9.     (*画小正方形*)
  10.     Line[{{0, 0}, {xd, yd}}],
  11.     Line[{{xd, yd}, {xe, ye}}],
  12.     Line[{{xe, ye}, {xf, yf}}],
  13.     Line[{{xf, yf}, {0, 0}}]}] /. 点坐标 /. 解
复制代码

点评

这些不同的思路、方法和工具确实能造成各人解决问题能力上的差异。只是这种差异在坛子里玩玩的,貌似不太重要。  发表于 2023-8-21 11:34
或许还有第四个解,共圆的四个点中有一个是大、小正方形的公共点。不管用什么思路、方法、工具,只要能把问题搞清楚就好,因为这才是目的。各人有不同的思路、方法和使用的工具,都无所谓好坏,只有结果才是最重要的  发表于 2023-8-21 11:30
nyy
mathematica解三角函数不怎么好,尽可能地避免三角函数,反三角函数有时候都接不了  发表于 2023-8-21 11:23
nyy
像我18楼一样,避免使用三角函数,应该就能解出方程组的所有解了!  发表于 2023-8-21 09:33
还有一个解等你解出来了再来看……要去收拾暑假作业了。  发表于 2023-8-19 11:48
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-19 12:14:01 | 显示全部楼层
4点共圆,有行列式等于零,有复数的4点共圆条件,还有托勒密定理。

点评

nyy
托勒密定理搞四点共圆,估计会很复杂!  发表于 2023-8-21 09:54
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发表于 2023-8-19 13:24:50 | 显示全部楼层
【第二个解的求解过程】
借用 3# 的图(点的字母标得不一样):


把题图中的小正方形顺时针转 180 度后,就得到了这个图。
令 \(\beta=\alpha+\pi\),即 \(\alpha=\beta-\pi\) 。
这样小正方形的坐标可以用 \(\alpha\) 来表示。
同样的方法解方程组……

求解方程组的代码:

  1. 解 = FindRoot[{
  2.    (*方程组*)
  3.    (-2 - x)^2 + (0 - y)^2 - r^2,
  4.    (-2 - x)^2 + (-2 - y)^2 - r^2,
  5.    (-Sin[\[Alpha]] - Cos[\[Alpha]] - x)^2 + (-Sin[\[Alpha]] +
  6.       Cos[\[Alpha]] - y)^2 - r^2,
  7.    (-Cos[\[Alpha]] - x)^2 + (-Sin[\[Alpha]] - y)^2 - r^2},
  8.   (*查找根的出发地*)
  9.   {{x, -0.5}, {y, -1}, {r, 1}, {\[Alpha], (3 \[Pi])/4}}]
复制代码


得到的解为:
  1. {x -> -1.70711, y -> -1., r -> 1.04201, \[Alpha] -> 0.785398}
复制代码


即圆心为 (-1.7071, -1.0000),半径为 1.0420,角度为 45+180=225 度。

【画图代码】
点坐标替换规则:
  1. 点坐标 = {
  2.   xa -> -2, ya -> 0,
  3.   xb -> -2, yb -> -2,
  4.   xc -> 0, yc -> -2,
  5.   xd -> -Sin[\[Alpha]], yd -> Cos[\[Alpha]],
  6.   xe -> -Sin[\[Alpha]] - Cos[\[Alpha]],
  7.   ye -> -Sin[\[Alpha]] + Cos[\[Alpha]],
  8.   xf -> -Cos[\[Alpha]], yf -> -Sin[\[Alpha]]}
复制代码


画解的代码(这部分代码没变):
  1. Graphics[{
  2.     (*画圆*)
  3.     Circle[{x, y}, r],
  4.     (*画大正方形*)
  5.     Line[{{0, 0}, {xa, ya}}],
  6.     Line[{{xa, ya}, {xb, yb}}],
  7.     Line[{{xb, yb}, {xc, yc}}],
  8.     Line[{{xc, yc}, {0, 0}}],
  9.     (*画小正方形*)
  10.     Line[{{0, 0}, {xd, yd}}],
  11.     Line[{{xd, yd}, {xe, ye}}],
  12.     Line[{{xe, ye}, {xf, yf}}],
  13.     Line[{{xf, yf}, {0, 0}}]}] /. 点坐标 /. 解
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点评

nyy
第一次看别人用mathematica画图,我还是喜欢CAD画图,好控制  发表于 2023-8-22 13:47
nyy
准确地说,不可能存在有意义的第三组解  发表于 2023-8-21 11:25
nyy
别胡思乱想了,我的方程组显示只有两个解,不可能存在第三组解的  发表于 2023-8-21 11:25
搞不好还有第三个解,就是把大正方形翻到外面去。顶楼题图,只有一个确定的解。  发表于 2023-8-21 09:34
nyy
你这样做是不对的,你是知道了答案后,才搞出两组解,你的方法应该是一下子得到两组解  发表于 2023-8-21 09:12
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发表于 2023-8-20 18:35:14 | 显示全部楼层
补充10#。圆外接四边形ABCD,O为AC,BD交点,AB=AO=2,CD=DO=1,

由三角形AOD:\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(b)}=\frac{AD}{\sin(a+b)}\)   (1)

由三角形ACD:\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{AD}{\cos(a+b)}=\frac{AC}{\cos(b)}\)   (2)

综合(1),(2):\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(b)}=\frac{AD}{\sin(a+b)}=\frac{AD}{\cos(a+b)}\)  (3)

由(3):\(\D\frac{AD}{\sin(a+b)}=\frac{AD}{\cos(a+b)}\)可知\(a+b=\pi/4\)

由(3):\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(45-a)}=2R\)  可知  \(2R=\sqrt{10+4\sqrt{2}}\)

这样也可以:\(\D(2R)^2=1^2+(1+2\sqrt{2})^2=2^2+(2+\sqrt{2})^2\)

若1=n,2=m,可以有:\(\D(2R)^2=n^2+(n+m\sqrt{2})^2=m^2+(m+n\sqrt{2})^2\)
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发表于 2023-8-21 08:59:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2023-8-21 09:49 编辑
aimisiyou 发表于 2023-8-18 15:33
根据四点共圆,可以列出关于角度Q的等式,从而求出Q值。





利用复数的行列式与复数四点共圆条件,来判定四点共圆。

  1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
  2. (*子函数,输入z=a+b*I,得到圆方程(a-x0)^2+(b-y0)^2-r0^2*)
  3. zCircle[z_]:=Module[{a,b},
  4.     {a,b}=ComplexExpand@ReIm[z];(*得到实数部分、虚数部分*)
  5.     (a-x0)^2+(b-y0)^2-r0^2(*得到圆的方程*)
  6. ]
  7. (*圆上的四个复数点赋值*)
  8. z1=-2-2*I;
  9. z2=-2;
  10. z3=a+b*I;
  11. z4=z3*(1-I);(*顺时针旋转45°,放大根号2倍*)
  12. (*得到四点共圆矩阵*)
  13. aaa={#1^2+#2^2,#1,#2,1}&@@@ComplexExpand@ReIm[{z1,z2,z3,z4}]
  14. (*利用行列式等列方程组解决问题*)
  15. ans=Solve[
  16. {
  17.     Det[aaa]==0,(*四点共圆的矩阵对应的行列式等于零*)
  18.     zCircle[z1]==0,(*z1在圆上*)
  19.     zCircle[z2]==0,(*z2在圆上*)
  20.     zCircle[z3]==0,(*z3在圆上*)
  21.     a^2+b^2==1,(*长度=1*)
  22.     r0>0(*限制变量范围*)
  23. },{a,b,x0,y0,r0}]//FullSimplify
  24. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)

  25. (*得到四点共圆的复数条件,表达式的虚部等于零*)
  26. bbb=ComplexExpand@Im[(z1-z2)(z3-z4)/((z1-z3)(z2-z4))]//Factor
  27. (*利用复数四点共圆条件列方程组来解决问题*)
  28. ccc=Solve[{
  29.     bbb==0,(*虚部等于零*)
  30.     a^2+b^2==1,(*长度=1*)
  31.     zCircle[z1]==0,(*z1在圆上*)
  32.     zCircle[z2]==0,(*z2在圆上*)
  33.     zCircle[z3]==0,(*z3在圆上*)
  34.     r0>0(*限制变量范围*)
  35. },{a,b,x0,y0,r0}]//FullSimplify
  36. Grid[ccc,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码


运行结果
四点共圆矩阵是
\[\left(
\begin{array}{cccc}
8 & -2 & -2 & 1 \\
4 & -2 & 0 & 1 \\
a^2+b^2 & a & b & 1 \\
2 \left(a^2+b^2\right) & a+b & b-a & 1 \\
\end{array}
\right)\]
行列式结果
\[2 (a-b) \left(a^2+b^2-4\right)\]
方程组求解结果是
\[\begin{array}{lllll}
a\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to -1-\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} \\
a\to \frac{1}{\sqrt{2}} & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to \frac{1}{\sqrt{2}}-1 & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} \\
\end{array}\]

复数四点共圆的条件是下面的行列式等于零,也就是虚部等于零。
\[\frac{(a-b) \left(a^2+b^2-4\right)}{\left(a^2+2 a+b^2+2 b+2\right) \left(a^2+4 a+b^2+4 b+8\right)}=0\]
方程组结果
\[\begin{array}{lllll}
a\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to -1-\frac{1}{\sqrt{2}} & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} \\
a\to \frac{1}{\sqrt{2}} & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & \text{x0}\to \frac{1}{\sqrt{2}}-1 & \text{y0}\to -1 & \text{r0}\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} \\
\end{array}\]

四点共圆的复数条件是
\[\frac{(\text{z1}-\text{z2}) (\text{z3}-\text{z4})}{(\text{z1}-\text{z3}) (\text{z2}-\text{z4})}的虚部=0\]
四点共圆的复数判定条件见:
运用复数判断四点共圆
https://zhuanlan.zhihu.com/p/399820673

点评

nyy
个人认为四点共圆行列式与四点共圆的复数判定形式,是一回事  发表于 2023-8-21 10:47
nyy
四点共圆行列式=2 (a - b) (-4 + a^2 + b^2),这个表达式证明了两个正方形,只要夹角=45°(a=b),就一定四点共圆!  发表于 2023-8-21 10:26
nyy
这两个办法,很可能是等价的!  发表于 2023-8-21 09:02
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-8-21 09:10:09 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2023-8-20 18:35
补充10#。圆外接四边形ABCD,O为AC,BD交点,AB=AO=2,CD=DO=1,

由三角形AOD:\(\D\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2 ...

请恕我直言:
你的方法太WC了!
你假设
圆外接四边形ABCD,O为AC,BD交点,AB=AO=2,CD=DO=1
你在你的方法中,假设O为AC、BD的交点,然后你又AO=2,DO=1
很显然,你把AC、BD的交点与两个正方形的公共点当成一个点了。

而这个条件是题目中没有给的。你这么一假设,无形中让问题简化了很多。
果然不出我所料,你就是在凑答案!

这一向你要解题过程,然后你就露馅了!

点评

小学生做不了:∠ADC=90+b=>∠ABC=90-b=>AB所得对圆心角=2b=>AB所得对圆周角=b=>BOD共线。  发表于 2023-8-21 17:22
AC,BD的交点与两个正方形的公共点就是同一个点呀。  发表于 2023-8-21 17:06
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发表于 2023-8-21 09:30:42 | 显示全部楼层
另外一种办法来了:
各种变量见图片,是由得到结果后,想到的办法

  1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
  2. ans=Solve[{
  3.     a==(1/2)*Tan[beta],
  4.     b==(1/2)/Cos[beta],
  5.     b+c==1,
  6.     d==c/Sin[beta],
  7.     e==c/Tan[beta],
  8.     R^2==1^2+(2-e)^2==(d+a+1)^2+(1/2)^2,
  9.     0<=beta<2*Pi&&R>0(*限制变量范围*)
  10. },{beta,R,a,b,c,d,e}]//FullSimplify
  11. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码


求解结果
\[\begin{array}{lllllll}
\text{beta}\to \frac{\pi }{4} & R\to \sqrt{\sqrt{2}+\frac{5}{2}} & a\to \frac{1}{2} & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 1-\frac{1}{\sqrt{2}} & d\to \sqrt{2}-1 & e\to 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\text{beta}\to \frac{5 \pi }{4} & R\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{2}} & a\to \frac{1}{2} & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 1+\frac{1}{\sqrt{2}} & d\to -\sqrt{2}-1 & e\to 1+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\]

得到两组解,解的R都是正确的,但是第二组解的beta是不正确的,
b、d的长度都小于零,应该说是没意义的,不知道为什么还能得到正确的R
QQ截图20230821092519.png

点评

nyy
把简单的思路留给自己,把复杂的方程踢给软件求解!  发表于 2023-8-21 09:35
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