设$/_CBO=/_OBG=x$
在$\Delta DOB$内使用正弦定理得到
\(\frac{\sin(x)}{OD}=\frac{\sin(\frac{2\pi}3-x)}{OB}=\frac{\sin(\frac{\pi}3+x)}{OB}\)
在$\Delta OEB$内使用正弦定理得到
\(\frac{\sin(x)}{OE}=\frac{\sin(\frac{\pi}3-x)}{OB}\)
所以两者相减得到
\(\sin(x)(\frac1{OD}-\frac1{OE})=\frac{\sin(\frac{\pi}3+x)-\sin(\frac{\pi}3-x)}{OB}=\frac{2\cos(\frac{\pi}3)\sin(x)}{OB}\)
即
\(\frac1{OD}-\frac1{OE}=\frac1{OB}\)
mathe 发表于 2023-8-22 14:14
设$/_CBO=/_OBG=x$
在$\Delta DOB$内使用正弦定理得到
\(\frac{\sin(x)}{OD}=\frac{\sin(\frac{2\pi}3-x) ...
我用余弦定理和角平分线定理，来看一下这个问题：
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
ans=Eliminate[{
cs==Cos,(*△BDO中使用余弦定理*)
cs==Cos,(*△BEO中使用余弦定理*)
c/a==d/b(*角平分线的性质*)
},{c,d}](*消除c d两个变量*)
aaa=Simplify(*尽可能地化简*)
求解结果
\
变形就是1/a=1/b+1/e也就是1/a-1/b=1/e=1/6
老师给出的答案是，设D点(t,0), E(m,0), 由角平分线定理得到①式，简化得到②式，代入③式得到答案。
前面说过这是中考题，由①得到②的过程，需要繁杂的手工计算(相对初中生在考场的情形)，而且代入③式，不算到最后，你不会知道未知数t正好会消掉。所以总感觉这个方法挺突然的，没有什么美感。
EulerKepler 发表于 2023-8-23 09:33
老师给出的答案是，设D点(t,0), E(m,0), 由角平分线定理得到①式，简化得到②式，代入③式得到答案。
前面 ...
老师给的答案很优秀，完全在初中生所掌握的知识范围内。
Jack315 发表于 2023-8-23 10:02
老师给的答案很优秀，完全在初中生所掌握的知识范围内。
方法是不错，但有点运气的成分，就这么列个方程，化简再代入，突然一个未知数就消掉了。你不算到最后一步，你无法预料会消掉那个未知数。
EulerKepler 发表于 2023-8-23 10:15
方法是不错，但有点运气的成分，就这么列个方程，化简再代入，突然一个未知数就消掉了。你不算到最后一步 ...
不能简单这么想的。参考：[原创] 求红色线段的长度值。
从 27# 开始做了公式的推导。
特别是在 30# EQ:12 的推导过程中，
一开始真的很晕，结果确是豁然开朗。
这个过程与老师的演算过程应该是类似的。
得到结果的那一刻，内心还是很爽的。
现在我也更能理解老师当时为什么语塞了。
如果夸一声老师：“妙”，相信老师会非常受用:)
休息一下，看个小电影：
中国第一颗原子弹数据计算是怎么完成的？看完肃然起敬！
本帖最后由 TSC999 于 2023-8-28 11:56 编辑
此题用复平面解析几何法做，很简单。
Clear["Global`*"];(*将D点坐标作为变量*)
\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; p = -3 - I Sqrt; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = -3 + I Sqrt;\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = -6; b = -3 - 3 Sqrt I; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = -3 + 3 Sqrt I;
\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d;
k := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
(*已知圆上某弦的端点坐标及弦上或其延长线上任一点坐标，求弦的另一端点坐标：*)
c = Simplify[-(\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) k + p]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = Simplify[-(b - p)/k + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)];
W1 = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{-k == k, 1 == k}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
e = Part; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = e;
W2 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{k/k == k/k, -3 < d < 0}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten ;
d = Part; e = Part;(*算出E点坐标的数值*)
Simplify - 1/Abs]
程序运行结果：\(\frac{1}{6}\)
TSC999 发表于 2023-8-28 11:55
此题用复平面解析几何法做，很简单。
只要: OB是∠DBE的平分线, 且∠DBE=60,恒有:1/OD-1/OE=1/OB,
详见11#。60改一下, 也是可以的。
王守恩 发表于 2023-8-28 12:27
只要: OB是∠DBE的平分线, 且∠DBE=60,恒有:1/OD-1/OE=1/OB,
详见11#。60改一下, 也是可以的。
...
重新梳理一下我写的代码，写的代码更清晰，可读性更强！
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,给定两个点,计算通过这两个点的直线的斜率.输入两点:{a,b},{c,d},返回:(d-b)/(c-a)*)
kk:=Module[{dpt},dpt=pt2-pt1;dpt[]/dpt[]]
(*6个点坐标赋值*)
ptB={-3,-3*Sqrt};
ptC={xc,yc};(*此处两个待求解变量*)
ptP={-3,-Sqrt};
ptE={xe,0};(*此处一个待求解变量*)
ptO={0,0};(*原点坐标赋值*)
ptD={xd,0};(*此处一个待求解变量*)
(*计算斜率*)
k1=kk//Simplify(*BE斜率*)
k2=kk//Simplify(*BO斜率*)
k3=kk//Simplify(*BC斜率*)
(*列方程组解决问题*)
ans=Solve[{
kk*kk==-1,(*CP⊥CE,斜率乘积等于负壹*)
(k3-k2)/(1+k3*k2)==(k2-k1)/(1+k2*k1),(*∠CAE=∠CBO=∠OBE*)
EuclideanDistance==2*Sqrt,(*C点到圆心P的距离等于半径*)
kk==kk(*CDB三点共线*)
},{xc,yc,xd,xe}]//Simplify(*列出求解待求解变量*)
Grid(*列表显示*)
aaa=1/Abs-1/Abs/.ans//Simplify(*求解出目标函数值*)
求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{xc}\to \frac{1}{4} (-3) \left(\sqrt{5}+5\right) & \text{yc}\to \frac{1}{4} (-3) \left(\sqrt{3}+\sqrt{15}\right) & \text{xd}\to -3 \left(\sqrt{5}+3\right) & \text{xe}\to -3 \left(\sqrt{5}+1\right) \\
\text{xc}\to \frac{3}{4} \left(\sqrt{5}-5\right) & \text{yc}\to \frac{3}{4} \sqrt{3} \left(\sqrt{5}-1\right) & \text{xd}\to 3 \left(\sqrt{5}-3\right) & \text{xe}\to 3 \left(\sqrt{5}-1\right) \\
\end{array}\]
目标值
\[\left\{\frac{1}{6} \left(2-\sqrt{5}\right),\frac{1}{6}\right\}\]
很显然第二组解才符合要求！