某省会的中考真题，请用中学数学知识解答

mathe

设$/_CBO=/_OBG=x$
在$\Delta DOB$内使用正弦定理得到
\(\frac{\sin(x)}{OD}=\frac{\sin(\frac{2\pi}3-x)}{OB}=\frac{\sin(\frac{\pi}3+x)}{OB}\)
在$\Delta OEB$内使用正弦定理得到
\(\frac{\sin(x)}{OE}=\frac{\sin(\frac{\pi}3-x)}{OB}\)
所以两者相减得到
\(\sin(x)(\frac1{OD}-\frac1{OE})=\frac{\sin(\frac{\pi}3+x)-\sin(\frac{\pi}3-x)}{OB}=\frac{2\cos(\frac{\pi}3)\sin(x)}{OB}\)
即
\(\frac1{OD}-\frac1{OE}=\frac1{OB}\)

nyy

mathe 发表于 2023-8-22 14:14
设$/_CBO=/_OBG=x$
在$\Delta DOB$内使用正弦定理得到
\(\frac{\sin(x)}{OD}=\frac{\sin(\frac{2\pi}3-x) ...

我用余弦定理和角平分线定理，来看一下这个问题：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. ans=Eliminate[{
   
6.     cs[a,e,c]==Cos[60deg],(*△BDO中使用余弦定理*)
   
7.     cs[b,e,d]==Cos[120deg],(*△BEO中使用余弦定理*)
   
8.     c/a==d/b(*角平分线的性质*)
   
9. },{c,d}](*消除c d两个变量*)
   
10. aaa=Simplify[ans,a>0&&b>0&&e>0](*尽可能地化简*)
    

复制代码

求解结果
\[b e=a (b+e)\]
变形就是1/a=1/b+1/e也就是1/a-1/b=1/e=1/6

EulerKepler

老师给出的答案是，设D点(t,0), E(m,0), 由角平分线定理得到①式，简化得到②式，代入③式得到答案。
前面说过这是中考题，由①得到②的过程，需要繁杂的手工计算(相对初中生在考场的情形)，而且代入③式，不算到最后，你不会知道未知数t正好会消掉。所以总感觉这个方法挺突然的，没有什么美感。

Jack315

EulerKepler 发表于 2023-8-23 09:33
老师给出的答案是，设D点(t,0), E(m,0), 由角平分线定理得到①式，简化得到②式，代入③式得到答案。
前面 ...

老师给的答案很优秀，完全在初中生所掌握的知识范围内。

EulerKepler

Jack315 发表于 2023-8-23 10:02
老师给的答案很优秀，完全在初中生所掌握的知识范围内。

方法是不错，但有点运气的成分，就这么列个方程，化简再代入，突然一个未知数就消掉了。你不算到最后一步，你无法预料会消掉那个未知数。

Jack315

EulerKepler 发表于 2023-8-23 10:15
方法是不错，但有点运气的成分，就这么列个方程，化简再代入，突然一个未知数就消掉了。你不算到最后一步 ...

不能简单这么想的。参考：[原创] 求红色线段的长度值。
从 27# 开始做了公式的推导。
特别是在 30# EQ:12 的推导过程中，
一开始真的很晕，结果确是豁然开朗。
这个过程与老师的演算过程应该是类似的。
得到结果的那一刻，内心还是很爽的。
现在我也更能理解老师当时为什么语塞了。
如果夸一声老师：“妙”，相信老师会非常受用

Jack315

休息一下，看个小电影：
中国第一颗原子弹数据计算是怎么完成的？看完肃然起敬！

TSC999

此题用复平面解析几何法做，很简单。

1. Clear["Global`*"];(*将D点坐标作为变量*)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; p = -3 - I Sqrt[3]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = -3 + I Sqrt[3];  \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = -6; b = -3 - 3 Sqrt[3] I; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = -3 + 3 Sqrt[3] I;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d;
   
4. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
5. (*已知圆上某弦的端点坐标及弦上或其延长线上任一点坐标，求弦的另一端点坐标：*)
   
6. c = Simplify[-(\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) k[b, d] + p]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = Simplify[-(b - p)/k[b, d] + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)];
   
7. W1 = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{-k[p, c] == k[e, c], 1 == k[o, e]}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
8. e = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = e;
   
9. W2 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{k[a, c]/k[a, e] == k[b, o]/k[b, e], -3 < d < 0}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten ;
   
10. d = Part[W2, 1]; e = Part[W1, 1];(*算出E点坐标的数值*)
    
11. Simplify[1/Abs[o - d] - 1/Abs[o - e]]

复制代码

程序运行结果：\(\frac{1}{6}\)

王守恩

TSC999 发表于 2023-8-28 11:55
此题用复平面解析几何法做，很简单。

只要: OB是∠DBE的平分线, 且∠DBE=60,  恒有:  1/OD-1/OE=1/OB,
详见11#。60改一下, 也是可以的。

nyy

王守恩 发表于 2023-8-28 12:27
只要: OB是∠DBE的平分线, 且∠DBE=60,  恒有:  1/OD-1/OE=1/OB,
详见11#。60改一下, 也是可以的。
...

重新梳理一下我写的代码，写的代码更清晰，可读性更强！

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,给定两个点,计算通过这两个点的直线的斜率.输入两点:{a,b},{c,d},返回:(d-b)/(c-a)*)
   
3. kk[pt1_,pt2_]:=Module[{dpt},dpt=pt2-pt1;dpt[[2]]/dpt[[1]]]
   
4. (*6个点坐标赋值*)
   
5. ptB={-3,-3*Sqrt[3]};
   
6. ptC={xc,yc};(*此处两个待求解变量*)
   
7. ptP={-3,-Sqrt[3]};
   
8. ptE={xe,0};(*此处一个待求解变量*)
   
9. ptO={0,0};(*原点坐标赋值*)
   
10. ptD={xd,0};(*此处一个待求解变量*)
    
11. (*计算斜率*)
    
12. k1=kk[ptB,ptE]//Simplify(*BE斜率*)
    
13. k2=kk[ptB,ptO]//Simplify(*BO斜率*)
    
14. k3=kk[ptB,ptC]//Simplify(*BC斜率*)
    
15. (*列方程组解决问题*)
    
16. ans=Solve[{
    
17.     kk[ptC,ptP]*kk[ptC,ptE]==-1,(*CP⊥CE,斜率乘积等于负壹*)
    
18.     (k3-k2)/(1+k3*k2)==(k2-k1)/(1+k2*k1),(*∠CAE=∠CBO=∠OBE*)
    
19.     EuclideanDistance[ptP,ptC]==2*Sqrt[3],(*C点到圆心P的距离等于半径*)
    
20.     kk[ptC,ptD]==kk[ptD,ptB](*CDB三点共线*)
    
21. },{xc,yc,xd,xe}]//Simplify(*列出求解待求解变量*)
    
22. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
23. aaa=1/Abs[xd]-1/Abs[xe]/.ans//Simplify(*求解出目标函数值*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{xc}\to \frac{1}{4} (-3) \left(\sqrt{5}+5\right) & \text{yc}\to \frac{1}{4} (-3) \left(\sqrt{3}+\sqrt{15}\right) & \text{xd}\to -3 \left(\sqrt{5}+3\right) & \text{xe}\to -3 \left(\sqrt{5}+1\right) \\
\text{xc}\to \frac{3}{4} \left(\sqrt{5}-5\right) & \text{yc}\to \frac{3}{4} \sqrt{3} \left(\sqrt{5}-1\right) & \text{xd}\to 3 \left(\sqrt{5}-3\right) & \text{xe}\to 3 \left(\sqrt{5}-1\right) \\
\end{array}\]

目标值
\[\left\{\frac{1}{6} \left(2-\sqrt{5}\right),\frac{1}{6}\right\}\]
很显然第二组解才符合要求！