某省会的中考真题，请用中学数学知识解答

EulerKepler

老师给我讲了答案，但想看看各位大神怎么解答的。

Jack315

贡献个重画的题图，助一臂之力：


话说这 G 点是干什么用的，
题目中没有任何交待，
而且还把 OG 线段（包括 OC 线段）也画出来了。
这算是个提示？

补充内容 (2023-8-22 16:32):
没问题的，只是画图的时候感到好奇，还以为是自己审题有问题。

nyy

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*已知点赋值*)
   
3. {xp,yp}={-3,-Sqrt[3]};
   
4. {xb,yb}={-3,-3*Sqrt[3]};
   
5. (*计算EB OB EB的斜率*)
   
6. k3=(yc-yb)/(xc-xb)
   
7. k2=(00-yb)/(00-xb)
   
8. k1=(ye-yb)/(xe-xb)
   
9. ans=Solve[{
   
10.     (yc-yp)/(xc-xp)*(yc-ye)/(xc-xe)==-1,(*CP⊥CE*)
    
11.     (k3-k2)/(1+k3*k2)==(k2-k1)/(1+k2*k1),(*∠CAE=∠CBO=∠OBE*)
    
12.     (xc-xp)^2+(yc-yp)^2==12,(*C点在圆P上*)
    
13.     ye==0,(*E点在x轴上*)
    
14.     yc>0,(*限制变量范围*)
    
15.     Det[{{xc,yc,1},{xd,0,1},{xb,yb,1}}]==0(*BCD三点共线*)
    
16. },{xc,yc,xd,xe,ye},Reals]//FullSimplify
    
17. f=(1/Abs[xd]-1/Abs[xe])/.ans//FullSimplify
    

复制代码

方程组求解结果
\[\left\{\left\{\text{xc}\to \frac{3}{4} \left(\sqrt{5}-5\right),\text{yc}\to \frac{3}{4} \sqrt{3} \left(\sqrt{5}-1\right),\text{xd}\to 3 \left(\sqrt{5}-3\right),\text{xe}\to 3 \left(\sqrt{5}-1\right),\text{ye}\to 0\right\}\right\}\]
最后你要求的结果居然还是1/6

Jack315

nyy 发表于 2023-8-22 08:24
求解结果
\[\left\{\left\{\text{xc}\to \frac{1}{2} \left(-3^{3/4} \sqrt{2}+3 \sqrt{3}-9\righ ...

这么快就解出来啦，真厉害

拓展一下：
1) 有没有什么好办法，不用电脑手工就能解出来。
毕竟这是给中学生出的题……现在他们做作业都用上电脑了吗？
2) 我们玩稍微高级一点的，
比如求出下列函数关系式，看看会是什么关系：
\[\angle OBE=f(\angle CAO)\]

EulerKepler

nyy 发表于 2023-8-22 08:24
求解结果
\[\left\{\left\{\text{xc}\to \frac{1}{2} \left(-3^{3/4} \sqrt{2}+3 \sqrt{3}-9\righ ...

大佬，请问这是什么软件啊？我想玩一下，求带

EulerKepler

Jack315 发表于 2023-8-22 06:19
贡献个重画的题图，助一臂之力：

原题是这样的。有一个小的打印错误，圆P的那个圆的符号变成了矩形，请自行忽略。

EulerKepler

猛一看，这个题最后一问求两个线段倒数的差值，又偏又怪，老师给出了一个解法(还算在中学数学范围内)，但我问老师，你是看的答案还是自己想出来的，老师沉默不语。。。。

EulerKepler

我自己是辅助线作了n条都没有搞出来。。。

王守恩

从简单想起: BC=直径, \(\frac{1}{OD}-\frac{1}{OE}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\)

前后题目不一致。根据答案，应该有：ED=EC=6。

Jack315

EulerKepler 发表于 2023-8-22 10:32
猛一看，这个题最后一问求两个线段倒数的差值，又偏又怪，老师给出了一个解法(还算在中学数学范围内)，但我 ...

各个点的坐标、各线段的直线方程都能直接计算出来，
包括解线性方程组……等，这些是不是都不在初中的范围内？
而是要用最更基础的如三角形相似之类的知识来解？