平面一点和正n边行或者圆和球等的一大类问题
问题1：已知平面上一点`P`到正`n`边形`A_1A_2...A_n`的三个顶点`A_i,A_j,A_k`的距离分别为`d_i,d_j,d_k`。 求`P`到其它顶点 `A_x`的距离。例如图1。
问题2：已知平面上一点`P`到一个圆上三点`A,B,C`距离分别为`a,b,c`。求`P`到圆上其它点`D`的距离。
问题3：如图已知正12边形内一点到三条边`a_6,a_{10},a_{12}`围成的三角形面积分别为8，3，4. 求该点与边`a_8`围成的面积。
问题4：如图圆被一个十字线分成4部分，已知其中3部分的面积，求第4部分的面积
圆和球的问题，因为方程是带反三角函数，不能得到显式解。可以代码得到高精度的数值解。
前面正n边形问题有漂亮的显式解。
圆和球问题的Python代码：
# 两互相垂直平面切一圆或者球，切成四部分，依次面积或者体积为abcd。已知abc,求d=?
# copy by yuange 2023.9.20n 精度位数
frommpmath import *
n=10
mp.dps=n+1
rn='\r\n'
def yuan(a,b,c):
s=lambda x:pi+2*(x*sqrt(1-x*x)+asin(x))
f1=lambda x,y:s(x)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(b+c)
f2=lambda x,y:s(-y)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(a+b)
x,y=findroot(,)
return (x,y,sqrt(2*(b+c)/s(x)),2*pi*(b+c)/s(x)-(a+b+c))
def qiu(a,b,c):
xy=lambda x,y:sqrt(1-x*x-y*y)
r=lambda x:sqrt(1-x*x)
v=lambda x,y: 2*x*y*xy(x,y)+2*acos(x/r(x)*y/r(y))+(x**3-3*x)*acos(y/r(x))+(y**3-3*y)*acos(x/r(y))
f1=lambda x,y:(y**3-3*y+2)*(b+c)+(x**3-3*x-2)*(a+b)
f2=lambda x,y:v(x,y)*(a+b)-pi*(y**3-3*y+2)*a
x,y=findroot(,)
return (x,y,cbrt(3*(a+b)/pi/(y**3-3*y+2)),4*(a+b)/(y**3-3*y+2)-(a+b+c))
print(yuan(12,20,25),rn)
print(qiu(12,20,25),rn)
运行结果：
Python3IDE(Python 3.7) running!
(mpf('0.19231802719341'), mpf('0.091107290257496'), mpf('4.8000946072789'), mpf('15.385148055037'))
(mpf('0.16507055607961'), mpf('0.076424040881472'), mpf('2.5839653811418'), mpf('15.268440309097'))
Pytho3IDE run end! 这么有趣的问题，没人研究？
还是喜欢数学的人太少呀。
为什么列那么多？列那么多其实是有原因的。
除了后面两个切圆和球的问题，前面那些看似那么多问题，其实最后是归结为一个问题。
可以一次把那些问题都一起解决了。
我喜欢解题解一类问题，而不是一个问题。最后归结的问题，还可以解别的类似问题。
这个一大类问题最后完全搞懂搞明白，绝对还是很有意思的。
本帖最后由 yuange1975 于 2023-9-28 15:21 编辑
圆和球的问题还可以更推广。
平面上过同一点P的n条直线，已知每条直线的夹角，分一个圆为多部份。如果点P不在圆内部，分圆两边最边上的合起来算一部分。知道其中三部份的面积分别为abc，求其它部份的面积？
平面上过同一点P且垂直平面的n个平面，已知每个平面的夹角，分一个球为多部份。如果点P不在球内部，分球两边最边上的合起来算一部分。知道其中三部份的体积分别为abc，求其它部份的体积？
其中比较规范一点的一个问题，n条直线或者平面的夹角相等。之前的问题就是n=2，求其它n>2的情况？
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