平面一点和正n边行或者圆和球等的一大类问题

yuange1975

问题1：已知平面上一点`P`到正`n`边形`A_1A_2...A_n`的三个顶点`A_i,A_j,A_k`的距离分别为`d_i,d_j,d_k`。 求`P`到其它顶点 `A_x`的距离。
           例如图1。

问题2：已知平面上一点`P`到一个圆上三点`A,B,C`距离分别为`a,b,c`。求`P`到圆上其它点`D`的距离。
问题3：如图已知正12边形内一点到三条边`a_6,a_{10},a_{12}`围成的三角形面积分别为8，3，4. 求该点与边`a_8`围成的面积。

问题4：如图圆被一个十字线分成4部分，已知其中3部分的面积，求第4部分的面积

yuange1975

圆和球的问题，因为方程是带反三角函数，不能得到显式解。可以代码得到高精度的数值解。
前面正n边形问题有漂亮的显式解。

圆和球问题的Python代码：

1. # 两互相垂直平面切一圆或者球，切成四部分，依次面积或者体积为abcd。已知abc,求d=?
   
2. # copy by yuange 2023.9.20  n 精度位数
   
3. from  mpmath import *
   
4. n=10
   
5. mp.dps=n+1
   
6. 
   
7. rn='\r\n'
   
8. 
   
9. def yuan(a,b,c):
   
10.     s=lambda x:pi+2*(x*sqrt(1-x*x)+asin(x))
    
11.     f1=lambda x,y:s(x)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(b+c)
    
12.     f2=lambda x,y:s(-y)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(a+b)   
    
13.     x,y=findroot([f1,f2],[0,0])   
    
14.     return (x,y,sqrt(2*(b+c)/s(x)),2*pi*(b+c)/s(x)-(a+b+c))
    
15.    
    
16. def qiu(a,b,c):
    
17.     xy=lambda x,y:sqrt(1-x*x-y*y)
    
18.     r=lambda x:sqrt(1-x*x)
    
19.     v=lambda x,y: 2*x*y*xy(x,y)+2*acos(x/r(x)*y/r(y))+(x**3-3*x)*acos(y/r(x))+(y**3-3*y)*acos(x/r(y))   
    
20.    
    
21.     f1=lambda x,y:(y**3-3*y+2)*(b+c)+(x**3-3*x-2)*(a+b)
    
22.     f2=lambda x,y:v(x,y)*(a+b)-pi*(y**3-3*y+2)*a
    
23.     x,y=findroot([f1,f2],[0,0])
    
24.     return (x,y,cbrt(3*(a+b)/pi/(y**3-3*y+2)),4*(a+b)/(y**3-3*y+2)-(a+b+c))
    
25. 
    
26. print(yuan(12,20,25),rn)
    
27. print(qiu(12,20,25),rn)

复制代码

运行结果：

1. Python3IDE(Python 3.7) running!
   
2. (mpf('0.19231802719341'), mpf('0.091107290257496'), mpf('4.8000946072789'), mpf('15.385148055037'))
   
3. 
   
4. (mpf('0.16507055607961'), mpf('0.076424040881472'), mpf('2.5839653811418'), mpf('15.268440309097'))
   
5. 
   
6. Pytho3IDE run end!

复制代码

yuange1975

这么有趣的问题，没人研究？
还是喜欢数学的人太少呀。

yuange1975

为什么列那么多？列那么多其实是有原因的。

除了后面两个切圆和球的问题，前面那些看似那么多问题，其实最后是归结为一个问题。

可以一次把那些问题都一起解决了。

我喜欢解题解一类问题，而不是一个问题。最后归结的问题，还可以解别的类似问题。


这个一大类问题最后完全搞懂搞明白，绝对还是很有意思的。

yuange1975

圆和球的问题还可以更推广。


平面上过同一点P的n条直线，已知每条直线的夹角，分一个圆为多部份。如果点P不在圆内部，分圆两边最边上的合起来算一部分。知道其中三部份的面积分别为abc，求其它部份的面积？



平面上过同一点P且垂直平面的n个平面，已知每个平面的夹角，分一个球为多部份。如果点P不在球内部，分球两边最边上的合起来算一部分。知道其中三部份的体积分别为abc，求其它部份的体积？


其中比较规范一点的一个问题，n条直线或者平面的夹角相等。之前的问题就是n=2，求其它n>2的情况？