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[原创] 平面一点和正n边行或者圆和球等的一大类问题

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发表于 2023-9-21 14:25:47 来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式

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问题1:已知平面上一点`P`到正`n`边形`A_1A_2...A_n`的三个顶点`A_i,A_j,A_k`的距离分别为`d_i,d_j,d_k`。 求`P`到其它顶点 `A_x`的距离。
           例如图1。
2EB1FB9C-04A1-4C76-BB61-1438CD395365.jpeg
问题2:已知平面上一点`P`到一个圆上三点`A,B,C`距离分别为`a,b,c`。求`P`到圆上其它点`D`的距离。
问题3:如图已知正12边形内一点到三条边`a_6,a_{10},a_{12}`围成的三角形面积分别为8,3,4. 求该点与边`a_8`围成的面积。
D95B9C56-FE05-4BE8-9706-4E7D2F141E00.jpeg
问题4:如图圆被一个十字线分成4部分,已知其中3部分的面积,求第4部分的面积
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2023-9-23 14:46:03 来自手机 | 显示全部楼层
圆和球的问题,因为方程是带反三角函数,不能得到显式解。可以代码得到高精度的数值解。
前面正n边形问题有漂亮的显式解。

圆和球问题的Python代码:

  1. # 两互相垂直平面切一圆或者球,切成四部分,依次面积或者体积为abcd。已知abc,求d=?
  2. # copy by yuange 2023.9.20  n 精度位数
  3. from  mpmath import *
  4. n=10
  5. mp.dps=n+1

  6. rn='\r\n'

  7. def yuan(a,b,c):
  8.     s=lambda x:pi+2*(x*sqrt(1-x*x)+asin(x))
  9.     f1=lambda x,y:s(x)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(b+c)
  10.     f2=lambda x,y:s(-y)*(a+c)-(pi+4*x*y)*(a+b)   
  11.     x,y=findroot([f1,f2],[0,0])   
  12.     return (x,y,sqrt(2*(b+c)/s(x)),2*pi*(b+c)/s(x)-(a+b+c))
  13.    
  14. def qiu(a,b,c):
  15.     xy=lambda x,y:sqrt(1-x*x-y*y)
  16.     r=lambda x:sqrt(1-x*x)
  17.     v=lambda x,y: 2*x*y*xy(x,y)+2*acos(x/r(x)*y/r(y))+(x**3-3*x)*acos(y/r(x))+(y**3-3*y)*acos(x/r(y))   
  18.    
  19.     f1=lambda x,y:(y**3-3*y+2)*(b+c)+(x**3-3*x-2)*(a+b)
  20.     f2=lambda x,y:v(x,y)*(a+b)-pi*(y**3-3*y+2)*a
  21.     x,y=findroot([f1,f2],[0,0])
  22.     return (x,y,cbrt(3*(a+b)/pi/(y**3-3*y+2)),4*(a+b)/(y**3-3*y+2)-(a+b+c))

  23. print(yuan(12,20,25),rn)
  24. print(qiu(12,20,25),rn)
复制代码

运行结果:

  1. Python3IDE(Python 3.7) running!
  2. (mpf('0.19231802719341'), mpf('0.091107290257496'), mpf('4.8000946072789'), mpf('15.385148055037'))

  3. (mpf('0.16507055607961'), mpf('0.076424040881472'), mpf('2.5839653811418'), mpf('15.268440309097'))

  4. Pytho3IDE run end!
复制代码
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 楼主| 发表于 2023-9-25 06:50:52 来自手机 | 显示全部楼层
这么有趣的问题,没人研究?
还是喜欢数学的人太少呀。

点评

说得好:出几个小题目,最好是一道一道分开的。  发表于 2023-9-28 15:31
不要贪多求全,出几个小而典型的题目,大家就会有兴趣。  发表于 2023-9-25 09:20
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 楼主| 发表于 2023-9-25 12:59:08 来自手机 | 显示全部楼层
为什么列那么多?列那么多其实是有原因的。

除了后面两个切圆和球的问题,前面那些看似那么多问题,其实最后是归结为一个问题。

可以一次把那些问题都一起解决了。

我喜欢解题解一类问题,而不是一个问题。最后归结的问题,还可以解别的类似问题。


这个一大类问题最后完全搞懂搞明白,绝对还是很有意思的。

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 楼主| 发表于 2023-9-28 15:14:31 来自手机 | 显示全部楼层
本帖最后由 yuange1975 于 2023-9-28 15:21 编辑

圆和球的问题还可以更推广。


平面上过同一点P的n条直线,已知每条直线的夹角,分一个圆为多部份。如果点P不在圆内部,分圆两边最边上的合起来算一部分。知道其中三部份的面积分别为abc,求其它部份的面积?



平面上过同一点P且垂直平面的n个平面,已知每个平面的夹角,分一个球为多部份。如果点P不在球内部,分球两边最边上的合起来算一部分。知道其中三部份的体积分别为abc,求其它部份的体积?


其中比较规范一点的一个问题,n条直线或者平面的夹角相等。之前的问题就是n=2,求其它n>2的情况?




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