可以直接从期望值的定义$\sum_{i=1 }^{\oo}i*P(i)$ p(i)为i步完成的概率
来证明以下式子的正确性
f(n,m)=$a_1+a_2-a_0$ 开始在8楼，我写 f(4,3)=......
等号后面的结果却是f(5,3)的结果。发现错误就马上改正了，结果mathe没注意，认为用递推公式算出的结果跟8楼的公式算出的不符合，所以认为8楼的公式是错误的。这要怪我。
其实可以证明8楼的公式是正确的。
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接13楼：
设第i步完成吃面过程(刚好得奖)，概率为$P(i)$
设刚好第i步吃遍粤菜系列的概率为$P_1(i)$
设刚好第i步吃遍川菜系列的概率为$P_2(i)$
设刚好第i步吃遍所有菜的概率为$P_0(i)$
那么$P(i)=P_1(i)+P_2(i)-P_0(i)$
所以
f(n,m)=$\sum_{i=1 }^{\oo}i*P(i)$
=$\sum_{i=1 }^{\oo}i*(P_1(i)+P_2(i)-P_0(i))$
=$\sum_{i=1 }^{\oo}i*P_1(i) +\sum_{i=1 }^{\oo}i*P_2(i) -\sum_{i=1 }^{\oo}i*P_0(i)$
=$a_1+a_2-a_0$
=$(n+m)*\sum_{i=1}^{n}1/i+(n+m)*\sum_{i=1}^{m}1/i-(n+m)\sum_{i=1}^{n+m}1/i$
=$(n+m)*(\sum_{i=1}^{m}1/i-\sum_{i=1}^{m}1/(n+i))$ 实际上表达式$P(i)=P_1(i)+P_2(i)-P_0(i)$是错误的，而是
$P(i)=P_1(i)+P_2(i)$
这个是因为我们不可能同时在第i步既刚好吃遍川菜又刚好吃遍粤菜（因为第i步只能次一种菜） 我上面那个表达式$P(i)=P_1(i)+P_2(i)$也是错误的，两种菜还相互影响:) mathe,你再验证验证我的那个计算公式，是否有不符合的地方。 公式$P(i)=p_1(i)+P_2(i)-P_0(i)$明明是正确的，结果也是完全正确的，怎么一点反应都没有？
高手也有犯错的时候，错了就要改嘛，表个态又不影响高手的身份。 本帖最后由 056254628 于 2009-11-13 18:55 编辑
mathe 认为： 因为我们不可能同时在第i步既刚好吃遍川菜又刚好吃遍粤菜。
所以排除了上述概率计算公式，这是错误的。
我们计算完全吃遍粤菜时的概率，包括了吃完最后一个菜之前已经吃遍了川菜的情况。
而计算完全吃遍川菜时的概率，包括了吃完最后一个菜之前已经吃遍了粤菜的情况。
只有将这两种情况减去才是所求的概率。
而这两个情况加起来刚好是吃遍所有菜的情况。
所以上述概率计算公式是正确的。 抱歉，没有注意到你的回复。
不过现在看来公式正确的可能性比较大，你自己再验算一下吧.
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