吃面问题系列之二

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可以用3楼的递推公式以及用电脑模拟吃面过程来验证上述公式结果是否正确。

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$f (4,3)=7*(1+1/2+1/3-1/5-1/6-1/7)=139/15$

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可以直接从期望值的定义$\sum_{i=1 }^{\oo}i*P(i)$ p(i)为i步完成的概率 来证明以下式子的正确性 f(n,m)=$a_1+a_2-a_0$

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开始在8楼，我写 f(4,3)=...... 等号后面的结果却是f(5,3)的结果。发现错误就马上改正了，结果mathe没注意，认为用递推公式算出的结果跟8楼的公式算出的不符合，所以认为8楼的公式是错误的。这要怪我。 其实可以证明8楼的公式是正确的。 ----------------------------------------------------------- 接13楼： 设第i步完成吃面过程(刚好得奖)，概率为$P(i)$ 设刚好第i步吃遍粤菜系列的概率为$P_1(i)$ 设刚好第i步吃遍川菜系列的概率为$P_2(i)$ 设刚好第i步吃遍所有菜的概率为$P_0(i)$ 那么$P(i)=P_1(i)+P_2(i)-P_0(i)$ 所以 f(n,m)=$\sum_{i=1 }^{\oo}i*P(i)$ =$\sum_{i=1 }^{\oo}i*(P_1(i)+P_2(i)-P_0(i))$ =$\sum_{i=1 }^{\oo}i*P_1(i) +\sum_{i=1 }^{\oo}i*P_2(i) -\sum_{i=1 }^{\oo}i*P_0(i)$ =$a_1+a_2-a_0$ =$(n+m)*\sum_{i=1}^{n}1/i+(n+m)*\sum_{i=1}^{m}1/i-(n+m)\sum_{i=1}^{n+m}1/i$ =$(n+m)*(\sum_{i=1}^{m}1/i-\sum_{i=1}^{m}1/(n+i))$

mathe

实际上表达式$P(i)=P_1(i)+P_2(i)-P_0(i)$是错误的，而是 $P(i)=P_1(i)+P_2(i)$ 这个是因为我们不可能同时在第i步既刚好吃遍川菜又刚好吃遍粤菜（因为第i步只能次一种菜）

mathe

我上面那个表达式$P(i)=P_1(i)+P_2(i)$也是错误的，两种菜还相互影响

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mathe,你再验证验证我的那个计算公式，是否有不符合的地方。

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公式$P(i)=p_1(i)+P_2(i)-P_0(i)$明明是正确的，结果也是完全正确的，怎么一点反应都没有？ 高手也有犯错的时候，错了就要改嘛，表个态又不影响高手的身份。

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mathe 认为： 因为我们不可能同时在第i步既刚好吃遍川菜又刚好吃遍粤菜。 所以排除了上述概率计算公式，这是错误的。 我们计算完全吃遍粤菜时的概率，包括了吃完最后一个菜之前已经吃遍了川菜的情况。 而计算完全吃遍川菜时的概率，包括了吃完最后一个菜之前已经吃遍了粤菜的情况。 只有将这两种情况减去才是所求的概率。 而这两个情况加起来刚好是吃遍所有菜的情况。 所以上述概率计算公式是正确的。

mathe

抱歉，没有注意到你的回复。 不过现在看来公式正确的可能性比较大，你自己再验算一下吧.