百度贴吧8261的射影形式求解
已知平面内定△ABC及两条相交的直线 l、g，P 是 BC 上的一动点，过 P 分别作 l、g 的平行线交 AC、AB 于 E。BE 交 CF 于 K，M 是 AP 的中点，MN//PK 交 BC 于 N。
求证： N 是一定点。
（转自 http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2059850）
将之转化为射影形式如下：
已知△ABC及平面上的定点 D，H，
P 是 BC 上的动点。
DP交AC于E，HP交AB于F，BE交CF于K，AB交EP于R。
AP交DH于L，EL交AB于Q，QP交AE于T，
AL交RT于M，KP交DL于G，MG交BC于N。
求证：N是定点。 进一步，假设AD交NH于S，则B(AC,SD)成调和。由于 B、A、C、D 是定点，故 S 是定点，由此即可推得 N 必然是定点。
下面这个问题和此结论等价，我折腾了两天无果，求证明。
△ABC及平面上定点D、H，P是BC上的一点，
DP交AC于E，HP交AB于F，
BE交CF于K，DE交AB于R，
DH交AP于L，EL交AB于Q，
QP交AC于T，AP交RT于M，
KP交DH于G，MG交BC于N，
HN交AD于S，PS交AB于I。
求证：BP、IM、LR 三线共点。
另外，BE 交 AP 于 J，此结论亦等价于 I、J、C 三点共线。
如上图，把BC投影成无穷远直线，A变换为原点,AB,AC变换为坐标轴。
L,G分别为原直线l,g上无穷远点。M',N'为原直线AP和MN上无穷远点。
X为变换后L,G中点，显然直线MN'和定直线AX平行，所以方向固定，即它和无穷远直线BC的交点N是定点 本帖最后由 dlsh 于 2024-1-18 22:01 编辑
Clear["Global`*"]
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = b = 0;
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = c = 1;
\!\(\*OverscriptBox["p", "_"]\) = p;
FourPoint := ((
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\) := -(((c
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
\!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
\!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
\!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
e = FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\); f =
FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\);
k = FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["k", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\); r =
FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["r", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\);
l = FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["l", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\); q =
FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\);
t = FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\); m =
FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["m", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\);
g = FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\); n =
FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["n", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\);
s = FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\); i =
FourPoint;
\!\(\*OverscriptBox["i", "_"]\) =
\!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\);
x1 = FourPoint; x2 = FourPoint;
Simplify[{1, e, f, k, r}]
Simplify[{2, q, t, m}]
Simplify[{3, g, n, s, i}]
Simplify[{4, x1, x2, , x1 - x2}]
典型线性构造，复数或解析方法简单，复数没有优势，同样构造，复杂度可能相同。
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