百度贴吧8261的射影形式求解

uk702

已知平面内定△ABC及两条相交的直线 l、g，P 是 BC 上的一动点，过 P 分别作 l、g 的平行线交 AC、AB 于 E。
BE 交 CF 于 K，M 是 AP 的中点，MN//PK 交 BC 于 N。
求证： N 是一定点。
（转自 http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2059850）


将之转化为射影形式如下：

已知△ABC及平面上的定点 D，H，
P 是 BC 上的动点。
DP交AC于E，HP交AB于F，BE交CF于K，AB交EP于R。
AP交DH于L，EL交AB于Q，QP交AE于T，
AL交RT于M，KP交DL于G，MG交BC于N。
求证：N是定点。

uk702

进一步，假设AD交NH于S，则B(AC,SD)成调和。由于 B、A、C、D 是定点，故 S 是定点，由此即可推得 N 必然是定点。

下面这个问题和此结论等价，我折腾了两天无果，求证明。

△ABC及平面上定点D、H，P是BC上的一点，
DP交AC于E，HP交AB于F，
BE交CF于K，DE交AB于R，
DH交AP于L，EL交AB于Q，
QP交AC于T，AP交RT于M，
KP交DH于G，MG交BC于N，
HN交AD于S，PS交AB于I。
求证：BP、IM、LR 三线共点。

另外，BE 交 AP 于 J，此结论亦等价于 I、J、C 三点共线。

mathe

如上图，把BC投影成无穷远直线，A变换为原点,AB,AC变换为坐标轴。
L,G分别为原直线l,g上无穷远点。M',N'为原直线AP和MN上无穷远点。
X为变换后L,G中点，显然直线MN'和定直线AX平行，所以方向固定，即它和无穷远直线BC的交点N是定点

dlsh

1. Clear["Global`*"]
   
2. 
   
3. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = b = 0;
   
4. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = c = 1;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["p", "_"]\) = p;
   
6. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((
   
7. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d - c
   
8. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) (a - b) - (
   
9. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b - a
   
10. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d))/((a - b) (
    
11. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
12. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
13. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
14. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d));(*过两点A和B、C和D的交点*)
    
15. 
    
16. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a_, b_, c_, d_] := -(((c
    
17. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) -
    
18. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) d) (
    
19. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
20. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - ( a
    
21. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
22. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) b) (
    
23. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
24. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)))/((a - b) (
    
25. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) -
    
26. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)) - (
    
27. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
28. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) (c - d)));
    
29. e = FourPoint[d, p, a, c];
    
30. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
    
31. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[d, p, a, c]; f =
    
32. FourPoint[h, p, a, b];
    
33. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
    
34. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[h, p, a, b];
    
35. k = FourPoint[b, e, f, c];
    
36. \!\(\*OverscriptBox["k", "_"]\) =
    
37. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[b, e, f, c]; r =
    
38. FourPoint[d, e, a, b];
    
39. \!\(\*OverscriptBox["r", "_"]\) =
    
40. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[d, e, a, b];
    
41. l = FourPoint[d, h, a, p];
    
42. \!\(\*OverscriptBox["l", "_"]\) =
    
43. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[d, h, a, p]; q =
    
44. FourPoint[l, e, a, b];
    
45. \!\(\*OverscriptBox["q", "_"]\) =
    
46. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[l, e, a, b];
    
47. t = FourPoint[a, c, q, p];
    
48. \!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\) =
    
49. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[a, c, q, p]; m =
    
50. FourPoint[r, t, a, p];
    
51. \!\(\*OverscriptBox["m", "_"]\) =
    
52. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[r, t, a, p];
    
53. 
    
54. g = FourPoint[d, h, k, p];
    
55. \!\(\*OverscriptBox["g", "_"]\) =
    
56. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[d, h, k, p]; n =
    
57. FourPoint[m, g, b, c];
    
58. \!\(\*OverscriptBox["n", "_"]\) =
    
59. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[m, g, b, c];
    
60. s = FourPoint[n, h, a, d];
    
61. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\) =
    
62. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[n, h, a, d]; i =
    
63. FourPoint[p, s, b, a];
    
64. \!\(\*OverscriptBox["i", "_"]\) =
    
65. \!\(\*OverscriptBox["FourPoint", "_"]\)[p, s, b, a];
    
66. x1 = FourPoint[b, p, i, m]; x2 = FourPoint[b, p, l, r];
    
67. Simplify[{1, e, f, k, r}]
    
68. Simplify[{2, q, t, m}]
    
69. Simplify[{3, g, n, s, i}]
    
70. Simplify[{4, x1, x2, , x1 - x2}]
    
71. 
    

复制代码

典型线性构造，复数或解析方法简单，复数没有优势，同样构造，复杂度可能相同。