论坛 › 趣题妙解 › 求x的角度

ejsoon 发表于 2024-2-5 12:53:12

求x的角度

條件已全部標注，求x角。

mathe 发表于 2024-2-5 16:37:46

根据正弦定理有
\(\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}=\frac{\sin(5x)}{\sin(8x)}\)
也就是\(2\sin(3x)\cos(4x)=\sin(5x)\)
也就是\(\sin(7x)-\sin(x)=\sin(5x)\)
\(\sin(7x)-\sin(5x)=\sin(x)\)
\(2\sin(x)\cos(6x)=\sin(x)\)
所以\(\cos(6x)=\frac12\)
所以x是10度角

王守恩 发表于 2024-2-5 18:38:59

{{x -> 10.}连接BD,A,B,C,D可以有8个角。参考: wayne——《[原创] 三角形的角格点问题》
NSolve[{(SinCosSinCos)/(SinCosSinCos)==1,45>x>0},{x}]

ejsoon 发表于 2024-2-5 19:45:55

mathe 发表于 2024-2-5 16:37
根据正弦定理有
\(\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}=\frac{\sin(5x)}{\sin(8x)}\)
也就是\(2\sin(3x)\cos(4x)=\si ...

根据正弦定理有
\(\frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}=\frac{\sin(5x)}{\sin(8x)}\)→這一步沒看懂，能否再詳解下？

Jack315 发表于 2024-2-5 22:28:25

ejsoon 发表于 2024-2-5 19:45
→這一步沒看懂，能否再詳解下？

由正弦定理有：
\(\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}\)
\(\frac{BC}{AC}=\frac{\sin \angle BAC}{\sin \angle ABC}=\frac{\sin (3x)}{\sin (\pi-4x)}=\frac{\sin (3x)}{\sin (4x)}\)

同理有：
\(\frac{CD}{AC}=\frac{\sin \angle DAC}{\sin \angle ADC}=\frac{\sin (5x)}{\sin (\pi-8x)}=\frac{\sin (5x)}{\sin (8x)}\)

由题意 \(BC=CD\) 得：
\(\frac{\sin (3x)}{\sin (4x)}=\frac{\sin (5x)}{\sin (8x)}\)

...

注：\(5x<\frac{\pi}{2}\Rightarrow x<\frac{\pi}{10}\)
x/Degree /. NSolve[{Sin/Sin == Sin/Sin, x > 0, x < \/10}, {x}]

ejsoon 发表于 2024-2-5 22:29:59

本帖最后由 ejsoon 于 2024-2-5 22:35 编辑

ejsoon 发表于 2024-2-5 19:45
→這一步沒看懂，能否再詳解下？

好像我明白了，AC是同一條邊，BC又等於CD。

ejsoon 发表于 2024-2-5 22:37:13

Jack315 发表于 2024-2-5 22:28
由正弦定理有：
\(\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}\)
\(\frac{BC}{AC}=\frac{\si ...

謝謝，我剛才也想明白了。

王守恩 发表于 2024-2-6 09:34:00

观察可知ABCD=梯形。AB=sin(x),BC=CD=sin(3x),AD=sin(3x)sin(3x)/sin(5x),
1,三角形ABC面积 = 三角形ABD面积, 即
sin(x)*sin(3x)*sin(4x)=sin(x)*sin(3x)sin(3x)/sin(5x)*sin(8x)
2,三角形ADC面积 = 三角形BDC面积, 即
sin(3x)sin(3x)/sin(5x)*sin(3x)*sin(8x)=sin(3x)*sin(3x)*sin(4x)

ejsoon 发表于 2024-2-6 10:39:56

f,

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