这是我推导椭圆台曲面参数方程的过程，供参考。
椭圆台上椭圆参数方程：
\(x=a_1\cos\varphi+x_{10}\)
\(y=b_1\sin\varphi+y_{10}\)
\(z=h_1\)
椭圆台下椭圆参数方程：
\(x=a_2\cos\varphi+x_{20}\)
\(y=b_2\sin\varphi+y_{20}\)
\(z=h_2\)
各参数取相同的线性关系（中括号里的表达式）得椭圆台曲面参数方程：
\(x=[\lambda a_1+(1-\lambda)a_2]\cos\varphi+[\lambda x_{10}+(1-\lambda)x_{20}]\)
\(y=[\lambda b_1+(1-\lambda)b_2]\sin\varphi+[\lambda y_{10}+(1-\lambda)y_{20}]\)
\(z=[\lambda h_1+(1-\lambda)h_2]\)
\(0\le\lambda\le1\)，\(0\le\varphi\le2\pi\) 。
本帖最后由 Jack315 于 2024-4-2 20:56 编辑
到目前为止所讨论的空间曲线都是某个平面上的椭圆，而椭圆是圆锥曲线的一种。
因此这类斜椭圆锥体、椭圆平台……等与平面截交线展开的问题，
是不是可以通过三维空间的旋转、平移和缩放，转换为正圆锥体与某个平面交线的展开问题？
如果答案是肯定的，则只要研究正圆锥体与某个平面截交线展开这一个问题就可以了。
而相应的计算公式可能也会变得简洁得多。
更进一步地是否可以将正圆锥体定义成一个标准的圆锥体，如高和底面圆半径都为 1 的单位正圆锥体。
然后通过平移、旋转和缩放得到所需的（椭）圆锥体。
参考：三维空间中的几何变换-平移旋转缩放
参照46#的参数形式，我们可以设椭圆台的曲面参数方程为
\(x(t)=(ka_1+(1-k)a_2)\cos(t)+(kx_1+(1-k)x_2)\)
\(y(t)=(kb_1+(1-k)b_2)\cos(t)+(ky_1+(1-k)y_2)\)
\(z(t)=kh\)
我们可以计算上椭圆右端点\(k=1,t=0\)得到坐标点\(A\)
下椭圆左端点距底\(h_0\)处点\(k=\frac{h_0}{h},t=\pi\),得到坐标点\(B\)
由A,B两点得到斜切面方程：
\((h^2 - hh_0)x + (-a_1h - a_1h_0 - a_2h + a_2h_0 + hx_0 - h_0x_0)z + 2a_1hh_0 + a_2h^2 - a_2hh_0=0\)
斜面截交曲线方程：
\(x=(ka_1 + (1 - k)a_2)\cos(t) - kx_0\)
\(y=(kb_1 + (1 - k)b_2)\cos(t) - ky_0\)
\(z=kh\)
\(k=\frac{(a_2h - a_2h_0)\cos(t) + 2h_0a_1 + a_2h - a_2h_0}{(a_1h - a_1h_0 - a_2h + a_2h_0)\cos(t) - a_1h - h_0a_1 - a_2h + a_2h_0}\)
偏心椭圆台曲面的隐函数方程：
\(\frac{(xh+zx_0)^2}{(za_1+a_2h-a_2z)^2}+\frac{(yh+zy_0)^2}{(zb_1+b_2h-b_2z)^2}=1\)
由上面的极径和极角公式，我们可以计算得到：
例1：正椭圆台
\(a_1 = 50, a_2 = 80, b_1 = 100, b_2 = 150, h = 150, h_0 = 0, x_0 = 0, y_0 = 0\)
斜切平面方程：
\(z=\frac{15x}{16}+\frac{1200}{13}\)
截交曲线参数方程：
\(x = 800\frac{\cos(t)}{3\cos(t) + 13}\),
\(y = 50\frac{\cos(t) + 31}{\sin(t)(3\cos(t) + 13)}\),
\(z =1200\frac{\cos(t) + 1}{3\cos(t) + 13}\)
绘图
绘图
（中间的曲线为截交曲线展开曲线，内外两条曲线为椭圆台上下端面展开曲线）
绘图
渐近分析展开得到的误差在 \([\pi,2\pi]\)区间误差较大，最大误差接近0.18度，可以勉强使用
渐近分析展开公式
，
对于偏心椭圆台：
\(a_1=50,a_2=100,b_1=80,b_2=250,h=150,h_0=30,x_0=10,x_1=-10,x_2=0,y_0=50,y_1=-50,y_2=0\)
绘图
绘图
绘图
（细线部分为利用渐近展开计算得到结果，粗实线为理论数值计算的结果，明显已偏移，渐近展开方案已不适用偏心椭圆台的计算）
经过各种尝试，终于找到一种变结点权函数的计算公式（高斯-勒让德积分计算公式，适用于偏心椭圆台展开计算）
（1）若将整个 \(\)分成4等份计算，最大误差为0.9887度
计算公式见
（2)若将整个 \(\)分成4*8=32等份计算，最大误差为10^(-3)度，足矣满足工程要求
计算公式见
其中\(g_k\)的脚标表示\(t=k\)时的函数取值