等边六边形三线共点猜想
已知：六边形ABCDEF的六边等长，试证明：三角形ACE和DFB的三对对应边中点连线共点。
二楼的反例说明猜想不成立。
的确不应该成立。
等边六边形容易仿射变换为一个一般六边形，但中点和三线共点是仿射不变的，
所以，如果对等边六边形成立，那么对一般六边形也应成立。
但对于一般六边形，构图三线不共点很显著。
hujunhua 发表于 2024-3-7 21:47
二楼的反例说明猜想不成立。
的确不应该成立。
等边六边形容易仿射变换为一个一般六边形，但中点和三线共点 ...
差点我就信了。还好随意画个图，发现结论不对。 应该猜测是正确的，随机产生了两组高精度结果
? gencase()
A=
B=
C=
D=
E=[-0.2763545589647446138328897700040980485806157646790086429145179149244700173186387903340454367254688174, 1.677063088264687291505776851439934517517317798213891183288753805639749246786399033298639228483101750]
F=[-0.6582048346309465818693362041143686413713894309947135006884450614524468530963047063705217728994151079, 0.7528388909112282724974673893308740241991574944266827915596652950822953328159710749421178594156418720]
N=
O=
? gencase()
A=
B=
C=
D=
E=
F=[-0.3832526544125777329374385150306974275008388721613112976273434228185561772286348118058363699367555704, 0.9236435475256205467185219242682904882289141359997058786995401019628363130771858330485745668557455822]
N=
O=
hujunhua猜想！
我感觉这个猜想很不错，确实有可能是成立的！
不知道换成空间六边形是否还成立，至少我选择了正方体六条封闭的边，竟然在空间中也相交到一点，就是正方体中心。
空间六边形不行
以下用大写字母表示位置矢量，黑体小写字母表示自由向量。
如图，设等边六边形`ABCDEF`的顶点`A`在原点，边长为1. 即`A=\boldsymbol {0}`,
记`B=\boldsymbol{a}`, 六边形其余 5 边对应向量依次为\(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d},\boldsymbol{e},\boldsymbol{f}\), 它们长度都为1，而且\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e}+\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\)
于是六边形`ABCDEF`的其余4个顶点依次为\(C=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},D=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, E=-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f},F=-\boldsymbol{f}\)
记六角星的各边中点为`GHIJKL`, 即有\(\begin{cases}
2G=F+B=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f}\\
2H=A+C=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\\
2I=B+D = 2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{d}-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f})\\
2J=C+E=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f}\\
2K=D+F=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{f}\\
2L=E+A= -\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f}\\
\end{cases}\)
容易看到六角星对边中点连线的向量`2(J-G)=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e}, 2(L-I)=\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a}, 2(H-K)=\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c}`
设GJ和KH的交点为
\(M=G+u(J-G)=K+v(H-K)\),`u,v`为实数。
立得 \((\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})u=(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c})v+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)
两边点乘`(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})`（消去`v`）可得
\((\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})u= (\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)
若\((\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})≠0\) 则可得 \(\D u = \frac{(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})}{(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})}\)
同样设GJ和IL的交点为
\(N=G+u'(J-G)=I+w(L-I)\), `u',w`为实数，
仿上可得 \(\D u'=\frac{(\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})}{(\boldsymbol{e}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})}\)
只要能够证明$u=u'$，那么就可以得到M和N重叠，从而证明本题。
注意到 \(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})\to(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})^2=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})^2\)(*平方指内积自乘，下同*）
由于\(\boldsymbol{b}^2=\boldsymbol{c}^2=\boldsymbol{f}^2=\boldsymbol{a}^2=\boldsymbol{d}^2=\boldsymbol{e}^2\)
两边消去后即得 \(\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{f}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{f}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{d}+\boldsymbol{d}·\boldsymbol{e}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{e}\)
所以 \((\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=1+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{f}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{f}=1+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{d}+\boldsymbol{d}·\boldsymbol{e}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})\)
另外一方面
\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol e)=-(\boldsymbol{b}+\boldsymbol e)·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol e)=0\)
\(\to(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})=(\boldsymbol{e}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})\)
由此我们得到\(\D u =u'\)
即M和N重叠。 三条对边中点连接的长度均为两个内接三角形A1B1C1和A2B2C2的外接圆半径R,等六边形的边长也为R