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[猜想] 等边六边形三线共点猜想

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发表于 2024-3-6 20:34:02 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知:六边形ABCDEF的六边等长,
试证明:三角形ACE和DFB的三对对应边中点连线共点。
无标题1.PNG
精华
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-3-7 21:29:05 | 显示全部楼层
1.png

点评

的确现在做不出来了。那么说看来还是可能是正确的  发表于 2024-3-13 17:05
照你的位置画图,没见到这么显著的偏差。一般在第15小数都是一致的。你画图可能有什么挪动。  发表于 2024-3-10 10:47
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 楼主| 发表于 2024-3-7 21:47:10 | 显示全部楼层
二楼的反例说明猜想不成立。
的确不应该成立。
等边六边形容易仿射变换为一个一般六边形,但中点和三线共点是仿射不变的,
所以,如果对等边六边形成立,那么对一般六边形也应成立。
但对于一般六边形,构图三线不共点很显著。
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发表于 2024-3-8 10:51:31 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2024-3-7 21:47
二楼的反例说明猜想不成立。
的确不应该成立。
等边六边形容易仿射变换为一个一般六边形,但中点和三线共点 ...


差点我就信了。还好随意画个图,发现结论不对。

点评

@aimisiyou 将正六边形垂直压缩 不可能成为反例,更不谈肉眼可分辨。  发表于 2024-3-10 10:25
将正六边形垂直压缩。  发表于 2024-3-8 21:26
贴个图看看?我找不到肉眼能区分的图  发表于 2024-3-8 17:03
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发表于 2024-3-14 08:37:01 | 显示全部楼层
应该猜测是正确的,随机产生了两组高精度结果
  1. ? gencase()
  2. A=[0.E-115, 0.E-115]
  3. B=[1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 0.E-115]
  4. C=[1.381850275666201968036446434110270592790773666315704857773927146527976835777665916036476336173946291, 0.9242241973534590190083094621090604933181603037872083917290885105574539139704279583565213690674598776]
  5. D=[0.7236454410352553861671102299959019514193842353209913570854820850755299826813612096659545632745311826, 1.677063088264687291505776851439934517517317798213891183288753805639749246786399033298639228483101750]
  6. E=[-0.2763545589647446138328897700040980485806157646790086429145179149244700173186387903340454367254688174, 1.677063088264687291505776851439934517517317798213891183288753805639749246786399033298639228483101750]
  7. F=[-0.6582048346309465818693362041143686413713894309947135006884450614524468530963047063705217728994151079, 0.7528388909112282724974673893308740241991574944266827915596652950822953328159710749421178594156418720]
  8. N=[0.3618227205176276930835551149979509757096921176604956785427410425377649913406806048329772816372655913, 0.8385315441323436457528884257199672587586588991069455916443769028198746233931995166493196142415508748, 1]
  9. O=[0.3618227205176276930835551149979509757096921176604956785427410425377649913406806048329772816372655913, 0.8385315441323436457528884257199672587586588991069455916443769028198746233931995166493196142415508748, 1]
  10. ? gencase()
  11. A=[0.E-115, 0.E-115]
  12. B=[1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 0.E-115]
  13. C=[1.420717849240105919075815073879202884039792248173960512887904662690624892908706611236488029180884277, 0.9071915405970116889397117940967804345185283123433039514347066674576359106831368367496276676432150199]
  14. D=[1.037465194827528186138376558848505456538953376012649215260561239872068715680071799430651659244128707, 1.830835088122632235658233718365070922747442448343009830134246769420472223760322669798202234498960602]
  15. E=[0.03746519482752818613837655884850545653895337601264921526056123987206871568007179943065165924412870675, 1.830835088122632235658233718365070922747442448343009830134246769420472223760322669798202234498960602]
  16. F=[-0.3832526544125777329374385150306974275008388721613112976273434228185561772286348118058363699367555704, 0.9236435475256205467185219242682904882289141359997058786995401019628363130771858330485745668557455822]
  17. N=[0.5187325974137640930691882794242527282694766880063246076302806199360343578400358997153258296220643534, 0.9154175440613161178291168591825354613737212241715049150671233847102361118801613348991011172494803011, 1]
  18. O=[0.5187325974137640930691882794242527282694766880063246076302806199360343578400358997153258296220643534, 0.9154175440613161178291168591825354613737212241715049150671233847102361118801613348991011172494803011, 1]
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发表于 2024-3-14 08:52:10 | 显示全部楼层
hujunhua猜想!
我感觉这个猜想很不错,确实有可能是成立的!
QQ截图20240314085853.png

点评

中间这个点为等边六边形胡心  发表于 2024-3-14 09:13
nyy
随机画了两张图,居然都是成立的,因此我认为这个肯定是成立的。暂且称为胡俊华定理!  发表于 2024-3-14 09:00
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发表于 2024-3-14 09:20:51 | 显示全部楼层
不知道换成空间六边形是否还成立,至少我选择了正方体六条封闭的边,竟然在空间中也相交到一点,就是正方体中心。
1.png
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发表于 2024-3-14 09:26:10 | 显示全部楼层
空间六边形不行
1.png

点评

软件能够支持,但是我没使用,其实我还是画得二维图:)  发表于 2024-3-14 10:53
nyy
你三维图怎么画的?这软件能画三维图?  发表于 2024-3-14 10:51
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发表于 2024-3-14 13:11:49 | 显示全部楼层
无标题.png
以下用大写字母表示位置矢量,黑体小写字母表示自由向量。
  
如图,设等边六边形`ABCDEF`的顶点`A`在原点,边长为1. 即`A=\boldsymbol {0}`,
记`B=\boldsymbol{a}`, 六边形其余 5 边对应向量依次为\(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d},\boldsymbol{e},\boldsymbol{f}\), 它们长度都为1,而且\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e}+\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\)
于是六边形`ABCDEF`的其余4个顶点依次为\(C=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},D=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, E=-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f},F=-\boldsymbol{f}\)
记六角星的各边中点为`GHIJKL`, 即有\(\begin{cases}
2G=F+B=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f}\\
2H=A+C=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\\
2I=B+D = 2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{d}-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f})\\
2J=C+E=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f}\\
2K=D+F=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{f}\\
2L=E+A= -\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f}\\

\end{cases}\)
容易看到六角星对边中点连线的向量`2(J-G)=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e}, 2(L-I)=\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a}, 2(H-K)=\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c}`
设GJ和KH的交点为
\(M=G+u(J-G)=K+v(H-K)\),`u,v`为实数。
立得       \((\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})u=(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c})v+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)
两边点乘`(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})`(消去`v`)可得
\((\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})u= (\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)
若\((\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})≠0\)    则可得    \(\D u = \frac{(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})}{(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})}\)
同样设GJ和IL的交点为
\(N=G+u'(J-G)=I+w(L-I)\), `u',w`为实数,
仿上可得       \(\D u'=\frac{(\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})}{(\boldsymbol{e}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})}\)

只要能够证明$u=u'$,那么就可以得到M和N重叠,从而证明本题。

注意到    \(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})\to(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})^2=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})^2\)(*平方指内积自乘,下同*)
由于\(\boldsymbol{b}^2=\boldsymbol{c}^2=\boldsymbol{f}^2=\boldsymbol{a}^2=\boldsymbol{d}^2=\boldsymbol{e}^2\)
两边消去后即得      \(\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{f}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{f}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{d}+\boldsymbol{d}·\boldsymbol{e}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{e}\)
所以    \((\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=1+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{f}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{f}=1+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{d}+\boldsymbol{d}·\boldsymbol{e}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})\)
另外一方面
\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol e)=-(\boldsymbol{b}+\boldsymbol e)·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol e)=0\)
\(\to(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})=(\boldsymbol{e}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})\)
由此我们得到  \(\D u =u'\)

即M和N重叠。

点评

和分母是否为零没有关系,分母为零可以看成相交于无穷远点。关键在于两线段是否共面(相交于有限点或无穷远点),三维空间它们可以异面。  发表于 2024-3-18 08:00
假定所有的分母都不为零,这个证明能适用于三维吗?  发表于 2024-3-17 19:53

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发表于 2024-3-14 14:05:12 来自手机 | 显示全部楼层
三条对边中点连接的长度均为两个内接三角形A1B1C1和A2B2C2的外接圆半径R,等六边形的边长也为R
mmexport1710395770004.png

点评

40# 就是这种特殊情况,平行六边形。23#,24#和25#还特意排除了这种情况。  发表于 2024-5-15 15:00
这个应该只是特殊情况  发表于 2024-3-14 21:34
nyy
为什么我画的两个圆大小不一样???  发表于 2024-3-14 16:06
nyy
你这叫猜想  发表于 2024-3-14 16:00
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