账号 自动登录 找回密码 密码 欢迎注册
 搜索

# [猜想] 等边六边形三线共点猜想

×

### 点评

楼主| 发表于 2024-3-7 21:47:10 | 显示全部楼层
 二楼的反例说明猜想不成立。 的确不应该成立。 等边六边形容易仿射变换为一个一般六边形，但中点和三线共点是仿射不变的， 所以，如果对等边六边形成立，那么对一般六边形也应成立。 但对于一般六边形，构图三线不共点很显著。

 hujunhua 发表于 2024-3-7 21:47 二楼的反例说明猜想不成立。 的确不应该成立。 等边六边形容易仿射变换为一个一般六边形，但中点和三线共点 ... 差点我就信了。还好随意画个图，发现结论不对。

### 点评

@aimisiyou 将正六边形垂直压缩 不可能成为反例，更不谈肉眼可分辨。  发表于 2024-3-10 10:25

 应该猜测是正确的，随机产生了两组高精度结果 ? gencase() A=[0.E-115, 0.E-115] B=[1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 0.E-115] C=[1.381850275666201968036446434110270592790773666315704857773927146527976835777665916036476336173946291, 0.9242241973534590190083094621090604933181603037872083917290885105574539139704279583565213690674598776] D=[0.7236454410352553861671102299959019514193842353209913570854820850755299826813612096659545632745311826, 1.677063088264687291505776851439934517517317798213891183288753805639749246786399033298639228483101750] E=[-0.2763545589647446138328897700040980485806157646790086429145179149244700173186387903340454367254688174, 1.677063088264687291505776851439934517517317798213891183288753805639749246786399033298639228483101750] F=[-0.6582048346309465818693362041143686413713894309947135006884450614524468530963047063705217728994151079, 0.7528388909112282724974673893308740241991574944266827915596652950822953328159710749421178594156418720] N=[0.3618227205176276930835551149979509757096921176604956785427410425377649913406806048329772816372655913, 0.8385315441323436457528884257199672587586588991069455916443769028198746233931995166493196142415508748, 1] O=[0.3618227205176276930835551149979509757096921176604956785427410425377649913406806048329772816372655913, 0.8385315441323436457528884257199672587586588991069455916443769028198746233931995166493196142415508748, 1] ? gencase() A=[0.E-115, 0.E-115] B=[1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 0.E-115] C=[1.420717849240105919075815073879202884039792248173960512887904662690624892908706611236488029180884277, 0.9071915405970116889397117940967804345185283123433039514347066674576359106831368367496276676432150199] D=[1.037465194827528186138376558848505456538953376012649215260561239872068715680071799430651659244128707, 1.830835088122632235658233718365070922747442448343009830134246769420472223760322669798202234498960602] E=[0.03746519482752818613837655884850545653895337601264921526056123987206871568007179943065165924412870675, 1.830835088122632235658233718365070922747442448343009830134246769420472223760322669798202234498960602] F=[-0.3832526544125777329374385150306974275008388721613112976273434228185561772286348118058363699367555704, 0.9236435475256205467185219242682904882289141359997058786995401019628363130771858330485745668557455822] N=[0.5187325974137640930691882794242527282694766880063246076302806199360343578400358997153258296220643534, 0.9154175440613161178291168591825354613737212241715049150671233847102361118801613348991011172494803011, 1] O=[0.5187325974137640930691882794242527282694766880063246076302806199360343578400358997153258296220643534, 0.9154175440613161178291168591825354613737212241715049150671233847102361118801613348991011172494803011, 1] 复制代码

 hujunhua猜想！ 我感觉这个猜想很不错，确实有可能是成立的！

### 点评

 不知道换成空间六边形是否还成立，至少我选择了正方体六条封闭的边，竟然在空间中也相交到一点，就是正方体中心。

 空间六边形不行

### 点评

 以下用大写字母表示位置矢量，黑体小写字母表示自由向量。    如图，设等边六边形ABCDEF的顶点A在原点，边长为1. 即A=\boldsymbol {0}, 记B=\boldsymbol{a}, 六边形其余 5 边对应向量依次为$$\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d},\boldsymbol{e},\boldsymbol{f}$$, 它们长度都为1，而且$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e}+\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}$$ 于是六边形ABCDEF的其余4个顶点依次为$$C=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},D=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, E=-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f},F=-\boldsymbol{f}$$ 记六角星的各边中点为GHIJKL, 即有$$\begin{cases} 2G=F+B=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f}\\ 2H=A+C=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\\ 2I=B+D = 2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{d}-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f})\\ 2J=C+E=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f}\\ 2K=D+F=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{f}\\ 2L=E+A= -\boldsymbol{e}-\boldsymbol{f}\\ \end{cases}$$ 容易看到六角星对边中点连线的向量2(J-G)=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e}, 2(L-I)=\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a}, 2(H-K)=\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c} 设GJ和KH的交点为 $$M=G+u(J-G)=K+v(H-K)$$,u,v为实数。 立得       $$(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})u=(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c})v+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$$ 两边点乘(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})（消去v）可得 $$(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})u= (\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$$ 若$$(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})≠0$$    则可得    $$\D u = \frac{(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})}{(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})}$$ 同样设GJ和IL的交点为 $$N=G+u'(J-G)=I+w(L-I)$$, u',w为实数， 仿上可得       $$\D u'=\frac{(\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})}{(\boldsymbol{e}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})}$$ 只要能够证明$u=u'$，那么就可以得到M和N重叠，从而证明本题。 注意到    $$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})\to(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})^2=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})^2$$(*平方指内积自乘，下同*） 由于$$\boldsymbol{b}^2=\boldsymbol{c}^2=\boldsymbol{f}^2=\boldsymbol{a}^2=\boldsymbol{d}^2=\boldsymbol{e}^2$$ 两边消去后即得      $$\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{f}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{f}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{d}+\boldsymbol{d}·\boldsymbol{e}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{e}$$ 所以    $$(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=1+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{f}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{f}=1+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{d}+\boldsymbol{d}·\boldsymbol{e}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{e}=(\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})$$ 另外一方面 $$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol e)=-(\boldsymbol{b}+\boldsymbol e)·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol e)=0$$ $$\to(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{f})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{e})=(\boldsymbol{e}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d})$$ 由此我们得到  $$\D u =u'$$ 即M和N重叠。

### 评分

wayne + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 赞一个!

 三条对边中点连接的长度均为两个内接三角形A1B1C1和A2B2C2的外接圆半径R,等六边形的边长也为R

### 点评

40# 就是这种特殊情况，平行六边形。23#，24#和25#还特意排除了这种情况。  发表于 2024-5-15 15:00

 您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册 本版积分规则 回帖并转播 回帖后跳转到最后一页

GMT+8, 2024-6-23 21:43 , Processed in 0.072806 second(s), 21 queries .