等边六边形三线共点猜想

wayne

受到上一次成功的启发（三角形中三联等圆交于外心），这道题进行翻新，然后喂给alphageometry ，期待收获惊喜.同样的，也是分多个子命题的阶段。
阶段一： 在圆$P$上取三个点$B,D,F$，记$K$是$DF$的中点，$G$是$BF$的中点，$I$是$BD$的中点，然后取直线$PG$上自由点$A$，即可得到对应的$PK$上的$E$，$PI$上的$C$，使得$EF=FA=AB=BC$。这个虽然显然$EF=FA=AB=BC=CD =DE$，但是我们仍然可以尝试扔给alphageometry.
阶段二： 上第一阶段的基础上，继续取中点，记$L$是$EA$的中点，$H$是$AC$的中点，$J$是$EC$的中点. 证明$HK, GJ,LI$三线共点。

对于阶段一

1. p = free; d = free; f = on_circle f p d; b = on_circle b p d; k = midpoint k d f; g = midpoint g b f; i = midpoint i b d; a = on_line a p g; e = on_line e p k, on_circle e f a; c = on_line c p i, on_circle c b a ? cong d e d c

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对于阶段二

1. p = free; d = free; f = on_circle f p d; b = on_circle b p d; k = midpoint k d f; g = midpoint g b f; i = midpoint i b d; a = on_line a p g; e = on_line e p k, on_circle e f a; c = on_line c p i, on_circle c b a; h = midpoint h a c; j = midpoint j e c; l = midpoint l a e; m = on_line m g j, on_line m i l ? coll m h k

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可惜了，第一阶段顺利证明出来，第二阶段无法收敛，提示代数求解阶段失败，DD+AR failed to solve the problem,然后AI求解阶段也不能收敛。

.根据上述作图方式，其实胡心M是有4个分身的。

wayne

我们再换另一种作图过程，那就是8个胡心了：指定一个三角形，比如BDF，然后 指定六边形的边的长度，做出对应的 等边 六边形的过程就是分别 针对三边 向内向外翻折，这样的话，就可以衍生出 2×2×2=8个版本的等边六角形，相应地就有 8个 胡心

wayne

若凸等边六边形不是一个平行六边形，那么它必可沿下面左右两图之一的虚线翻折为一个等侧棱三棱锥。
左右两图，必可其一，只可其一。试证之。

hujunhua

@mathe 在群里回复这个问题时曾说“不错，利用外心即可”，之前曾提出推论（疑问）“两三角形外接圆半径有且只有一个大于边长”。
第一个问题，怎么简单地利用外心？
    答：假定六边形的边长 `l` 大于其中一个三角形，比如`△ACE`的外径 `R_1`，就可以在`△ACE`的外心处竖一根适当的高`h=\sqrt{l^2-R_1^2}`, 得到那个等侧棱三棱锥, 即左图可。
          左图可`→∠B+∠D+∠F<2π→∠A+∠C+∠E>2π→`右图不可`→l<R_2`。
第二个问题，怎么保证假设`l>R_1`的合理性。
    答：或许存在一个约束关系`f(R_1,R_2,l)=0`, 从中可以作不等式推断。
        
这样的约束关系真的存在吗？

mathe

记等边六边形的边长为`l`, 不妨设$/_B+/_D+/_F<2\pi</_A+/_C+/_E$.
取`A,C,E`的外心`O`，设其外径为`R_1`.
考察两共底等腰三角形 `△ABC` 和 `△AOC`，由  `\D 2l\sin{\frac{∠B}2}=AC=2R_1\sin{\frac{∠AOC}2}`  得  `\D\frac l{R_1}=\frac{\sin{\frac{∠AOC}2}}{\sin{\frac{∠B}2}}`.
考察一周可得  `\D\frac l{R_1}=\frac{\sin{\frac{∠AOC}2}}{\sin{\frac{∠B}2}}=\frac{\sin{\frac{∠COE}2}}{\sin{\frac{∠D}2}}=\frac{\sin{\frac{∠EOA}2}}{\sin{\frac{∠F}2}}`.
由于$/_AOC+/_COE+/_EOA=2\pi >/_B+/_D+/_F$,
所以 `∠AOC>∠B,∠COE>∠D,∠EOA>∠F`, 得 `l>R_1`，于是可以构造等侧棱三棱锥。
类似，另外一个正好不等式方向相反，得 `l<R_2`，所以不能构造等侧棱三棱锥。

hujunhua

一、最简单的情况是△ACE和△BDF都是正三角形，可得\[
l^2=R_1^2-R_1R_2+R_2^2\tag1
\]这确实可以从中得到 `l` 居于`R_1,R_2`之间。

二、进而考察△ACE和△BDF都是等腰三角形的情况，得到下图中的结果.
显然，从图中两式欲消去两个变量 `a,h` 是不可能的，所以对于一般的凸等边六边形更不存在\[f(R_1,R_2,l)=0\].

hujunhua

wayne 发表于 2024-4-6 15:04
若凸等边六边形不是一个平行六边形，那么它必可沿下面左右两图之一的虚线翻折为一个等侧棱三棱锥。
左右两 ...

感觉凸等边六边形的这两个虚线三角形都是锐角三角形。

也就是说，wayne的两个外心都在三角形内。

mathe

如图，等边六边形ABCDEF中，如果假设$/_EAC$是钝角能够导致$/_FAE+/_EAC+/_CAB\gt \pi$即可。
取CE中点D', 作B',F'使得AB'=CB'=AF'=CF'=CD'=ED', 其中B',F'分别落在三角形ABC和AEF内部。
因为$/_EAC$是钝角，所以AD'<CD' 。
以E为圆心,EF'为半径的圆和以A为圆心AD'为半径的圆交于F'', AF''=AD'<CD'=AF',所以$/_AEF''\lt /_AEF'$
显然$\Delta AD'E$相似$\Delta AF''E$, 所以得到$/_FEA \gt /_F'EA \gt /_F''EA=/_D'EA$
同理$/_BCA \gt /_D'CA$, 由此得到
$/_FAE+/_EAC+/_CAB \gt /_CEA +/_EAC +/_ACE=\pi$

hujunhua

mathe 发表于 2024-4-13 10:21
如图，等边六边形ABCDEF中，如果假设$/_EAC$是钝角能够导致$/_FAE+/_EAC+/_CAB\gt \pi$即可。
取CE中点D', ...

这是反证法，间接证明。能不能有一个直接证明呢？

可以尝试一下代数方法。用mathe的那6个单位向量来表示题设和目标。

已知：平面上6个单位向量 a, b, c, d, e, f 满足如下条件：
1）||a||=||b||=...=||e||=1. （单位向量）
2) a + b + c + d + e + f=0. （形成封闭多边形）
3) a×b·k>0, b×c·k>0, c×d·k>0, d×e·k>0, e×f·k>0, f×a·k>0（*凸多边形，k是平面的单位法向量*）
求证：(a+b)·(c+d)<0. （锐角三角形）

数学星空

设等边六边形$AC_1BA_1CB_1$边长为\(x\), 两个间内接三角形ABC和$A_1B_1C_1$边长分别为\(a,b,c,a_1,b_1,c_1\), 并且\(AA_1=a_0,BB_1=b_0,CC_1=c_0\)

为了方便计算，我们可以固定\(a,b,c,x\)为已知参量，其余为导出量

先记如下变量\(s_0,s_1,s_2,s_3\) 为对应三角形面积

\(16s_0^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4\)

\(16s_1^2=2c_0^2b^2+2c_0^2x^2+2b^2x^2-c_0^4-b^4-x^4\)

\(16s_2^2=2c^2a_0^2+2a_0^2x^2+2c^2x^2-a_0^4-c^4-x^4\)

\(16s_3^2=2a^2b_0^2+2b_0^2x^2+2a^2x^2-b_0^4-a^4-x^4\)

我们可以计算得到: (即求a0,b0,c0)

a^4*x^2 + a^2*b^2*c^2 - 2*a^2*b^2*x^2 - a^2*c^2*c0^2 - a^2*c^2*x^2 + b^4*x^2 - b^2*c^2*c0^2 - b^2*c^2*x^2 + c^4*c0^2 + c^2*c0^4 - 2*c^2*c0^2*x^2 + c^2*x^4=0

a^4*x^2 - a^2*b^2*b0^2 + a^2*b^2*c^2 - a^2*b^2*x^2 - 2*a^2*c^2*x^2 + b^4*b0^2 + b^2*b0^4 - b^2*b0^2*c^2 - 2*b^2*b0^2*x^2 - b^2*c^2*x^2 + b^2*x^4 + c^4*x^2=0

a^4*a0^2 + a^2*a0^4 - a^2*a0^2*b^2 - a^2*a0^2*c^2 - 2*a^2*a0^2*x^2 + a^2*b^2*c^2 - a^2*b^2*x^2 - a^2*c^2*x^2 + a^2*x^4 + b^4*x^2 - 2*b^2*c^2*x^2 + c^4*x^2=0

由a0,b0,c0,a,b,c,x求a1,b1,c1

a1^4*b^2 + a1^2*b^4 - a1^2*b^2*c0^2 - 3*a1^2*b^2*x^2 + c0^4*x^2 - 2*c0^2*x^4 + x^6=0

a^4*c1^2 - a^2*b0^2*c1^2 + a^2*c1^4 - 3*a^2*c1^2*x^2 + b0^4*x^2 - 2*b0^2*x^4 + x^6=0

a0^4*x^2 - a0^2*b1^2*c^2 - 2*a0^2*x^4 + b1^4*c^2 + b1^2*c^4 - 3*b1^2*c^2*x^2 + x^6=0

也可以直接由a,b,c,x求a1,b1,c1

-4*a^4*b^4*c^2*x^6 - 4*a^4*b^2*c^4*x^6 + 4*a^4*b^2*c^2*x^8 + 2*a^2*b^6*c^2*x^6 - 4*a^2*b^4*c^4*x^6 + 4*a^2*b^4*c^2*x^8 + 2*a^2*b^2*c^6*x^6 + 4*a^2*b^2*c^4*x^8 + 2*a^6*b^2*c^2*x^6 + a^4*b^4*c^4*x^4 + (-a^2*b^4*c^4 + b^6*c^4 + b^4*c^6 - 8*b^4*c^4*x^2)*a1^6 + (a^4*b^4*c^2*x^2 + a^4*b^2*c^4*x^2 - 2*a^4*b^2*c^2*x^4 - 2*a^2*b^6*c^2*x^2 + 2*a^2*b^4*c^4*x^2 + 4*a^2*b^4*c^2*x^4 - 2*a^2*b^2*c^6*x^2 + 4*a^2*b^2*c^4*x^4 + b^8*c^2*x^2 + b^6*c^6 - 5*b^6*c^4*x^2 - 2*b^6*c^2*x^4 - 5*b^4*c^6*x^2 + 20*b^4*c^4*x^4 + b^2*c^8*x^2 - 2*b^2*c^6*x^4)*a1^4 + (-a^6*b^2*c^2*x^4 - a^4*b^4*c^2*x^4 - a^4*b^2*c^4*x^4 + 8*a^4*b^2*c^2*x^6 - a^2*b^6*c^4*x^2 + 5*a^2*b^6*c^2*x^4 - a^2*b^4*c^6*x^2 + 6*a^2*b^4*c^4*x^4 - 16*a^2*b^4*c^2*x^6 + 5*a^2*b^2*c^6*x^4 - 16*a^2*b^2*c^4*x^6 + b^8*c^4*x^2 - 3*b^8*c^2*x^4 - 2*b^6*c^6*x^2 + 3*b^6*c^4*x^4 + 8*b^6*c^2*x^6 + b^4*c^8*x^2 + 3*b^4*c^6*x^4 - 16*b^4*c^4*x^6 - 3*b^2*c^8*x^4 + 8*b^2*c^6*x^6)*a1^2 + b^8*x^8 + c^8*x^8 + a^8*x^8 + a1^8*b^4*c^4 + 6*b^4*c^4*x^8 - 4*a^2*b^6*x^8 - 4*a^2*c^6*x^8 - 4*a^6*c^2*x^8 - 4*a^6*b^2*x^8 + 6*a^4*c^4*x^8 - 4*b^6*c^2*x^8 + 6*a^4*b^4*x^8 - 4*b^2*c^6*x^8=0


-4*a^4*b^4*c^2*x^6 - 4*a^4*b^2*c^4*x^6 + 4*a^4*b^2*c^2*x^8 + 2*a^2*b^6*c^2*x^6 - 4*a^2*b^4*c^4*x^6 + 4*a^2*b^4*c^2*x^8 + 2*a^2*b^2*c^6*x^6 + 4*a^2*b^2*c^4*x^8 + 2*a^6*b^2*c^2*x^6 + a^4*b^4*c^4*x^4 + a^4*b1^8*c^4 + b^8*x^8 + c^8*x^8 + a^8*x^8 + (a^6*c^4 - a^4*b^2*c^4 + a^4*c^6 - 8*a^4*c^4*x^2)*b1^6 + (a^8*c^2*x^2 - 2*a^6*b^2*c^2*x^2 + a^6*c^6 - 5*a^6*c^4*x^2 - 2*a^6*c^2*x^4 + a^4*b^4*c^2*x^2 + 2*a^4*b^2*c^4*x^2 + 4*a^4*b^2*c^2*x^4 - 5*a^4*c^6*x^2 + 20*a^4*c^4*x^4 + a^2*b^4*c^4*x^2 - 2*a^2*b^4*c^2*x^4 - 2*a^2*b^2*c^6*x^2 + 4*a^2*b^2*c^4*x^4 + a^2*c^8*x^2 - 2*a^2*c^6*x^4)*b1^4 + (a^8*c^4*x^2 - 3*a^8*c^2*x^4 - a^6*b^2*c^4*x^2 + 5*a^6*b^2*c^2*x^4 - 2*a^6*c^6*x^2 + 3*a^6*c^4*x^4 + 8*a^6*c^2*x^6 - a^4*b^4*c^2*x^4 - a^4*b^2*c^6*x^2 + 6*a^4*b^2*c^4*x^4 - 16*a^4*b^2*c^2*x^6 + a^4*c^8*x^2 + 3*a^4*c^6*x^4 - 16*a^4*c^4*x^6 - a^2*b^6*c^2*x^4 - a^2*b^4*c^4*x^4 + 8*a^2*b^4*c^2*x^6 + 5*a^2*b^2*c^6*x^4 - 16*a^2*b^2*c^4*x^6 - 3*a^2*c^8*x^4 + 8*a^2*c^6*x^6)*b1^2 + 6*b^4*c^4*x^8 - 4*a^2*b^6*x^8 - 4*a^2*c^6*x^8 - 4*a^6*c^2*x^8 - 4*a^6*b^2*x^8 + 6*a^4*c^4*x^8 - 4*b^6*c^2*x^8 + 6*a^4*b^4*x^8 - 4*b^2*c^6*x^8=0

-4*a^4*b^4*c^2*x^6 - 4*a^4*b^2*c^4*x^6 + 4*a^4*b^2*c^2*x^8 + 2*a^2*b^6*c^2*x^6 - 4*a^2*b^4*c^4*x^6 + 4*a^2*b^4*c^2*x^8 + 2*a^2*b^2*c^6*x^6 + 4*a^2*b^2*c^4*x^8 + 2*a^6*b^2*c^2*x^6 + a^4*b^4*c^4*x^4 + a^4*b^4*c1^8 + b^8*x^8 + c^8*x^8 + a^8*x^8 + (a^6*b^4 + a^4*b^6 - a^4*b^4*c^2 - 8*a^4*b^4*x^2)*c1^6 + (a^8*b^2*x^2 + a^6*b^6 - 5*a^6*b^4*x^2 - 2*a^6*b^2*c^2*x^2 - 2*a^6*b^2*x^4 - 5*a^4*b^6*x^2 + 2*a^4*b^4*c^2*x^2 + 20*a^4*b^4*x^4 + a^4*b^2*c^4*x^2 + 4*a^4*b^2*c^2*x^4 + a^2*b^8*x^2 - 2*a^2*b^6*c^2*x^2 - 2*a^2*b^6*x^4 + a^2*b^4*c^4*x^2 + 4*a^2*b^4*c^2*x^4 - 2*a^2*b^2*c^4*x^4)*c1^4 + (a^8*b^4*x^2 - 3*a^8*b^2*x^4 - 2*a^6*b^6*x^2 - a^6*b^4*c^2*x^2 + 3*a^6*b^4*x^4 + 5*a^6*b^2*c^2*x^4 + 8*a^6*b^2*x^6 + a^4*b^8*x^2 - a^4*b^6*c^2*x^2 + 3*a^4*b^6*x^4 + 6*a^4*b^4*c^2*x^4 - 16*a^4*b^4*x^6 - a^4*b^2*c^4*x^4 - 16*a^4*b^2*c^2*x^6 - 3*a^2*b^8*x^4 + 5*a^2*b^6*c^2*x^4 + 8*a^2*b^6*x^6 - a^2*b^4*c^4*x^4 - 16*a^2*b^4*c^2*x^6 - a^2*b^2*c^6*x^4 + 8*a^2*b^2*c^4*x^6)*c1^2 + 6*b^4*c^4*x^8 - 4*a^2*b^6*x^8 - 4*a^2*c^6*x^8 - 4*a^6*c^2*x^8 - 4*a^6*b^2*x^8 + 6*a^4*c^4*x^8 - 4*b^6*c^2*x^8 + 6*a^4*b^4*x^8 - 4*b^2*c^6*x^8=0

我们通过代数方程直接求解可以得到：

\(a_0=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}+x^2+2s_0\sqrt{-1+4(\frac{x}{a})^2}}\)

\(b_0=\sqrt{\frac{-b^2+c^2+a^2}{2}+x^2+2s_0\sqrt{-1+4(\frac{x}{b})^2}}\)

\(c_0=\sqrt{\frac{b^2-c^2+a^2}{2}+x^2+2s_0\sqrt{-1+4(\frac{x}{c})^2}}\)

\(a_1=\sqrt{\frac{c_0^2+x^2-b^2}{2}+x^2+2s_1\sqrt{-1+4(\frac{x}{b})^2}}\)

\(b_1=\sqrt{\frac{a_0^2+x^2-c^2}{2}+x^2+2s_2\sqrt{-1+4(\frac{x}{c})^2}}\)

\(c_1=\sqrt{\frac{b_0^2+x^2-a^2}{2}+x^2+2s_3\sqrt{-1+4(\frac{x}{a})^2}}\)

本来想通过消元直接得到R1关于a,b,c,x的表达式，可惜不论采用何种方式计算其内存都溢出中断~~~