三角形中三联等圆交于外心

hujunhua

如图，点D,E,F位于△ABC三边上，O位于三角形内，AEOF、BFOD、CDOE皆四点共圆，并且三个圆一样大。
求证：O 必是△ABC的外心。

nyy

看起来不错，我一点都不会证明！

nyy

这个圆的直径是由abc三边确定的唯一解吗？

nyy

几何瑰宝这本书上有这个题目吗？
不知道能否机械证明这个题目。
反正我对这题一点思路都没有，你能颠簸一下我吗？
我感觉这个结论还是很漂亮的

hejoseph

由\[
\frac{EF}{\sin A}=\frac{FD}{\sin B}=\frac{DE}{\sin C}
\]可得 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 是相似的。
\begin{align*}
\angle BOC &=\angle BAC+(\angle OBA+\angle OCA)\\
&=\angle BAC+(\angle ODF+\angle ODE)\\
&=\angle BAC+\angle BAC\\
&=2\angle BAC
\end{align*}
同理可得\[
\angle COA=2\angle ABC，\angle AOB=2\angle BCA
\]因此点 $O$ 是两段含定圆周角的圆弧的交点，并且这个点若存在则是唯一存在的。容易验证三角形的外心满足条件。

hujunhua

由3个四点共圆知图中所标三个角相等。
既然三圆大小相等，必有等角对等弦，所以OA=OB=OC。

hujunhua

由于外心O在△ABC的内部，所以△ABC是个锐角三角形。
那么△DEF也是锐角三角形。
容易证明：O是锐角三角形△DEF的垂心。

当O是△ABC的垂心时（这得删除“并且三个圆一样大”），O便是△DEF的内心。
当O是△ABC的内心时（也得删除“并且三个圆一样大”），O便是△DEF的外心。
嘿，形成了一个三阶循环。

问：删除“并且三个圆一样大”，当O是三角形ABC内的一个什么点时，它也是△DEF的这种点？

nyy

hujunhua 发表于 2023-7-18 14:44
由于外心O在△ABC的内部，所以△ABC是个锐角三角形。
那么△DEF也是锐角三角形。
容易证明：O是锐角三角 ...

如果三边长度等于abc，那么这三个圆的半径的公式为？

hejoseph

其实不需要限制点 $O$ 在 $\triangle ABC$ 内，点 $D$、$E$、$F$ 也不需要限制在边内，只需要三圆是等圆即可得到点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心。

hejoseph

已知 △ABC 以及三个角α、β、γ，其中 α+β+γ=π，求作一点 P，使其到直线 BC、CA、AB 的垂足D、E、F满足 ∠FDE=α，∠DEF=β， ∠EFD=γ。