已知AB=BC=AC，AD=3，CD=5，∠BDC=60°，求BD
已知AB=BC=AC，AD=3，CD=5，∠BDC=60°，求BD利用四面体体积等于零，以及余弦定理，列方程组解方程组，得到
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
ans=Solve[{
fun==0,
Numerator@Together-Cos]==0
},{x,y}]//FullSimplify//ToRadicals
Grid(*列表显示*)
求解结果
\[\begin{array}{rr}
x\to 2 & y\to -\sqrt{19} \\
x\to 2 & y\to \sqrt{19} \\
x\to 8 & y\to -7 \\
x\to 8 & y\to 7 \\
x\to \frac{5}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & y\to 0 \\
x\to \frac{5}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & y\to 0 \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}-5 i\right) & y\to -\sqrt{34+5 i \sqrt{39}} \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}-5 i\right) & y\to \sqrt{34+5 i \sqrt{39}} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}+5 i\right) & y\to -\sqrt{34-5 i \sqrt{39}} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}+5 i\right) & y\to \sqrt{34-5 i \sqrt{39}} \\
\end{array}\]
很明显，第二行、第四行是求解结果！ 瞪眼:BD=(5*AB+3*BC)/AC=8 老同志，你把∠CDB换成=90°，然后你再计算一下。
NSinSinSin)/(SinSinSinSin)==1,9/Sin^2==25/Sin^2==(9+BD^2)/Sin^2,1>c>a>0,BD>0},{a,c,BD}],20]
{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}} 太长了。
N==3/Sin,5Cos/Sin==3Cot==BD,1>a>c>0},{a,c,BD}],20]
{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}} 王守恩 发表于 2024-4-1 14:05
太长了。
{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}} ...
假设∠CDB=90°，根据四面体体积等于零、余弦定理，列方程组解决问题。
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
ans=Solve[{
fun==0,(*四面体的体积等于零*)
Numerator@Together-Cos]==0(*余弦定理*)
},{x,y}]//FullSimplify//ToRadicals
Grid(*列表显示*)
求解结果
\[\begin{array}{rr}
x\to -5 i & y\to 0 \\
x\to 5 i & y\to 0 \\
x\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{43}{2}} & y\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{93}{2}} \\
x\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{43}{2}} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+93\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+43\right)} & y\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{93}{2}} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+43\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+93\right)} \\
\end{array}\]
数值化
\[\begin{array}{rr}
x\to -5.000000000 i & y\to 0 \\
x\to 5.000000000 i & y\to 0 \\
x\to -2.671814624 & y\to -5.669091054 \\
x\to -2.671814624 & y\to 5.669091054 \\
x\to 2.671814624 & y\to -5.669091054 \\
x\to 2.671814624 & y\to 5.669091054 \\
x\to -5.988439414 & y\to -7.801372098 \\
x\to -5.988439414 & y\to 7.801372098 \\
x\to 5.988439414 & y\to -7.801372098 \\
x\to 5.988439414 & y\to 7.801372098 \\
\end{array}\]
从上面的结果可以知道，第六个、第十个是需要求的结果 nyy 发表于 2024-4-2 08:36
假设∠CDB=90°，根据四面体体积等于零、余弦定理，列方程组解决问题。
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)deg =
Pi/180;(*角度制下1\所对应的弧度*)(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs := ((a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun :=
Sqrt[Det[{{0, 1, 1, 1, 1}, {1, 0, a^2, b^2, c^2}, {1, a^2, 0, z^2,
y^2}, {1, b^2, z^2, 0, x^2}, {1, c^2, y^2, x^2, 0}}]/288]
ans = Solve[{fun == 0,(*四面体的体积等于零*)
Numerator@Together - Cos] == 0(*余弦定理*)}, {x,
y}] // FullSimplify // ToRadicals
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