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[提问] 已知AB=BC=AC,AD=3,CD=5,∠BDC=60°,求BD

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发表于 2024-4-1 08:48:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知AB=BC=AC,AD=3,CD=5,∠BDC=60°,求BD
QQ截图20240401084645.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-4-1 08:55:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-4-1 09:12 编辑

利用四面体体积等于零,以及余弦定理,列方程组解方程组,得到
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*子函数,四面体体积公式,a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱,x,y,z分别是对棱*)
  6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  7. ans=Solve[{
  8.     fun[3,5,x,y,y,y]==0,
  9.     Numerator@Together[cs[5,x,y]-Cos[60deg]]==0
  10. },{x,y}]//FullSimplify//ToRadicals
  11. Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
复制代码


求解结果
\[\begin{array}{rr}
x\to 2 & y\to -\sqrt{19} \\
x\to 2 & y\to \sqrt{19} \\
x\to 8 & y\to -7 \\
x\to 8 & y\to 7 \\
x\to \frac{5}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & y\to 0 \\
x\to \frac{5}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & y\to 0 \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}-5 i\right) & y\to -\sqrt{34+5 i \sqrt{39}} \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}-5 i\right) & y\to \sqrt{34+5 i \sqrt{39}} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}+5 i\right) & y\to -\sqrt{34-5 i \sqrt{39}} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}+5 i\right) & y\to \sqrt{34-5 i \sqrt{39}} \\
\end{array}\]

很明显,第二行、第四行是求解结果!

20240401_091154更正,第二行的解也在△ABC的外面,
QQ截图20240401091110.png

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nyy
一个答案是5+3=8,一个答案是5-3=2  发表于 2024-4-1 09:19
nyy
假设AB=BC=AC=y,BD=x,上面那个写错了  发表于 2024-4-1 09:05
nyy
假设AB=BC=AC=x,BD=y  发表于 2024-4-1 08:57
nyy
第二行的D点在△ABC内,第四行在外面  发表于 2024-4-1 08:55
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-4-1 09:29:51 | 显示全部楼层
瞪眼:  BD=(5*AB+3*BC)/AC=8

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nyy
老同志,你把∠CDB换成=90°,然后你再计算一下。  发表于 2024-4-1 11:38
nyy
你这个是托勒密定理吧,要不是托勒密定理,要是∠CDB不等于60°,你不就阳痿了吗  发表于 2024-4-1 09:40
nyy
你能瞪出2???????  发表于 2024-4-1 09:30
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发表于 2024-4-1 12:56:23 | 显示全部楼层
老同志,你把∠CDB换成=90°,然后你再计算一下。
  1. N[Solve[{(Sin[Pi/2]Sin[a]Sin[Pi/6+c]Sin[Pi/3])/(Sin[Pi/2-a-c]Sin[Pi/3]Sin[Pi/6-c]Sin[c])==1,9/Sin[a]^2==25/Sin[c]^2==(9+BD^2)/Sin[a+c]^2,1>c>a>0,BD>0},{a,c,BD}],20]
复制代码

{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}}

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就1组解呀?没有解析解的?我已经很努力了!  发表于 2024-4-1 13:28
nyy
你的代码太难看了!你两组解,而且有解析解!你给的是数值解  发表于 2024-4-1 13:06
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发表于 2024-4-1 14:05:41 | 显示全部楼层
太长了。
  1. N[Solve[{5/Sin[c]==3/Sin[a],5Cos[Pi/6-a]/Sin[Pi/6+c]==3Cot[Pi/6-c]==BD,1>a>c>0},{a,c,BD}],20]
复制代码

{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}}

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nyy
老同志,我写的代码比你写的代码好太多了  发表于 2024-4-1 22:57
nyy
把我上面的代码改一改。你就能到得到解析  发表于 2024-4-1 16:01
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2024-4-2 08:36:32 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-4-1 14:05
太长了。

{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}} ...

假设∠CDB=90°,根据四面体体积等于零、余弦定理,列方程组解决问题。
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*子函数,四面体体积公式,a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱,x,y,z分别是对棱*)
  6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  7. ans=Solve[{
  8.     fun[3,5,x,y,y,y]==0,(*四面体的体积等于零*)
  9.     Numerator@Together[cs[5,x,y]-Cos[90deg]]==0(*余弦定理*)
  10. },{x,y}]//FullSimplify//ToRadicals
  11. Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
复制代码


求解结果
\[\begin{array}{rr}
x\to -5 i & y\to 0 \\
x\to 5 i & y\to 0 \\
x\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{43}{2}} & y\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{93}{2}} \\
x\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{43}{2}} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+93\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+43\right)} & y\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{93}{2}} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+43\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+93\right)} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{rr}
x\to -5.000000000 i & y\to 0 \\
x\to 5.000000000 i & y\to 0 \\
x\to -2.671814624 & y\to -5.669091054 \\
x\to -2.671814624 & y\to 5.669091054 \\
x\to 2.671814624 & y\to -5.669091054 \\
x\to 2.671814624 & y\to 5.669091054 \\
x\to -5.988439414 & y\to -7.801372098 \\
x\to -5.988439414 & y\to 7.801372098 \\
x\to 5.988439414 & y\to -7.801372098 \\
x\to 5.988439414 & y\to 7.801372098 \\
\end{array}\]

从上面的结果可以知道,第六个、第十个是需要求的结果
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-4-2 12:52:17 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-4-2 08:36
假设∠CDB=90°,根据四面体体积等于零、余弦定理,列方程组解决问题。

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)deg =
Pi/180;(*角度制下1\[Degree]所对应的弧度*)(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs[a_, b_, c_] := ((a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式,a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱,x,y,z分别是对棱*)
fun[a_, b_, c_, x_, y_, z_] :=
Sqrt[Det[{{0, 1, 1, 1, 1}, {1, 0, a^2, b^2, c^2}, {1, a^2, 0, z^2,
      y^2}, {1, b^2, z^2, 0, x^2}, {1, c^2, y^2, x^2, 0}}]/288]
ans = Solve[{fun[3, 5, x, y, y, y] == 0,(*四面体的体积等于零*)
     Numerator@Together[cs[3, x, y] - Cos[90 deg]] == 0(*余弦定理*)}, {x,
     y}] // FullSimplify // ToRadicals
Grid[ans, Alignment -> Right](*列表显示*)

点评

nyy
代码写得不错!  发表于 2024-4-3 08:23
nyy
干嘛写的不错!  发表于 2024-4-2 13:55
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