已知AB=BC=AC，AD=3，CD=5，∠BDC=60°，求BD

nyy

已知AB=BC=AC，AD=3，CD=5，∠BDC=60°，求BD

nyy

利用四面体体积等于零，以及余弦定理，列方程组解方程组，得到

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. ans=Solve[{
   
8.     fun[3,5,x,y,y,y]==0,
   
9.     Numerator@Together[cs[5,x,y]-Cos[60deg]]==0
   
10. },{x,y}]//FullSimplify//ToRadicals
    
11. Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{rr}
x\to 2 & y\to -\sqrt{19} \\
x\to 2 & y\to \sqrt{19} \\
x\to 8 & y\to -7 \\
x\to 8 & y\to 7 \\
x\to \frac{5}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & y\to 0 \\
x\to \frac{5}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & y\to 0 \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}-5 i\right) & y\to -\sqrt{34+5 i \sqrt{39}} \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}-5 i\right) & y\to \sqrt{34+5 i \sqrt{39}} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}+5 i\right) & y\to -\sqrt{34-5 i \sqrt{39}} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{39}+5 i\right) & y\to \sqrt{34-5 i \sqrt{39}} \\
\end{array}\]

很明显，第二行、第四行是求解结果！

王守恩

瞪眼:  BD=(5*AB+3*BC)/AC=8

王守恩

老同志，你把∠CDB换成=90°，然后你再计算一下。

1. N[Solve[{(Sin[Pi/2]Sin[a]Sin[Pi/6+c]Sin[Pi/3])/(Sin[Pi/2-a-c]Sin[Pi/3]Sin[Pi/6-c]Sin[c])==1,9/Sin[a]^2==25/Sin[c]^2==(9+BD^2)/Sin[a+c]^2,1>c>a>0,BD>0},{a,c,BD}],20]

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{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}}

王守恩

太长了。

1. N[Solve[{5/Sin[c]==3/Sin[a],5Cos[Pi/6-a]/Sin[Pi/6+c]==3Cot[Pi/6-c]==BD,1>a>c>0},{a,c,BD}],20]

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{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}}

nyy

王守恩 发表于 2024-4-1 14:05
太长了。

{{a -> 0.081986907842399806023, c -> 0.13691921374050155908, BD -> 7.3677722184380441861}} ...

假设∠CDB=90°，根据四面体体积等于零、余弦定理，列方程组解决问题。

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. ans=Solve[{
   
8.     fun[3,5,x,y,y,y]==0,(*四面体的体积等于零*)
   
9.     Numerator@Together[cs[5,x,y]-Cos[90deg]]==0(*余弦定理*)
   
10. },{x,y}]//FullSimplify//ToRadicals
    
11. Grid[ans,Alignment->Right](*列表显示*)
    

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求解结果
\[\begin{array}{rr}
x\to -5 i & y\to 0 \\
x\to 5 i & y\to 0 \\
x\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to -\sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(43-5 \sqrt{33}\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(93-5 \sqrt{33}\right)} \\
x\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{43}{2}} & y\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{93}{2}} \\
x\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{43}{2}} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+93\right)} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+43\right)} & y\to -\sqrt{\frac{5 \sqrt{33}}{2}+\frac{93}{2}} \\
x\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+43\right)} & y\to \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}+93\right)} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{rr}
x\to -5.000000000 i & y\to 0 \\
x\to 5.000000000 i & y\to 0 \\
x\to -2.671814624 & y\to -5.669091054 \\
x\to -2.671814624 & y\to 5.669091054 \\
x\to 2.671814624 & y\to -5.669091054 \\
x\to 2.671814624 & y\to 5.669091054 \\
x\to -5.988439414 & y\to -7.801372098 \\
x\to -5.988439414 & y\to 7.801372098 \\
x\to 5.988439414 & y\to -7.801372098 \\
x\to 5.988439414 & y\to 7.801372098 \\
\end{array}\]

从上面的结果可以知道，第六个、第十个是需要求的结果

王守恩

nyy 发表于 2024-4-2 08:36
假设∠CDB=90°，根据四面体体积等于零、余弦定理，列方程组解决问题。

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)deg =
Pi/180;(*角度制下1\[Degree]所对应的弧度*)(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs[a_, b_, c_] := ((a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun[a_, b_, c_, x_, y_, z_] :=
Sqrt[Det[{{0, 1, 1, 1, 1}, {1, 0, a^2, b^2, c^2}, {1, a^2, 0, z^2,
      y^2}, {1, b^2, z^2, 0, x^2}, {1, c^2, y^2, x^2, 0}}]/288]
ans = Solve[{fun[3, 5, x, y, y, y] == 0,(*四面体的体积等于零*)
     Numerator@Together[cs[3, x, y] - Cos[90 deg]] == 0(*余弦定理*)}, {x,
     y}] // FullSimplify // ToRadicals
Grid[ans, Alignment -> Right](*列表显示*)