P是△ABC内的动点，求7*AP+5*BP+8*CP的最小值
如图所示，现在初中生的题目是越来越难了！Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
aaa=Solve==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
{AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[]),25/8};(*线段长度赋值*)
f=7*AP+5*BP+8*CP+t*(fun^2-0)//Simplify (*定义目录函数,约束条件:四面体的体积等于零*)
fx=D//Simplify (*对四个变量求解偏导数*)
ans=Solve[{fx==0},{AP,BP,CP,t}] (*偏导数等于零,求解方程组*)
out=f/.ans[] (*得到目标函数的极值*)
我只会拉格朗日乘子法，
求解结果：
BC长度
\[\left\{\left\{\text{BC}\to \frac{\sqrt{601}}{8}\right\}\right\}\]
目标函数是
\[-\frac{t \left(38464 \text{AP}^4-8 \text{AP}^2 \left(5200 \text{BP}^2+4416 \text{CP}^2+45075\right)+40000 \text{BP}^4-600 \text{BP}^2 \left(64 \text{CP}^2+575\right)+9 \left(4096 \text{CP}^4-41600 \text{CP}^2+375625\right)\right)}{589824}+7 \text{AP}+5 \text{BP}+8 \text{CP}\]
四个偏导数是
\[\left\{-\frac{601 \text{AP}^3 t}{2304}+\frac{\text{AP} t \left(5200 \text{BP}^2+4416 \text{CP}^2+45075\right)}{36864}+7,\frac{25 \text{BP} t \left(208 \text{AP}^2+192 \text{CP}^2+1725\right)}{36864}-\frac{625 \text{BP}^3 t}{2304}+5,\frac{1}{768} \text{CP} t \left(92 \text{AP}^2+100 \text{BP}^2+975\right)-\frac{\text{CP}^3 t}{4}+8,\frac{-38464 \text{AP}^4+8 \text{AP}^2 \left(5200 \text{BP}^2+4416 \text{CP}^2+45075\right)-40000 \text{BP}^4+600 \text{BP}^2 \left(64 \text{CP}^2+575\right)-9 \left(4096 \text{CP}^4-41600 \text{CP}^2+375625\right)}{589824}\right\}\]
求解结果是
\[\left\{\left\{\text{AP}\to -\frac{15}{8},\text{BP}\to -\frac{117}{56},\text{CP}\to -\frac{10}{7},t\to \frac{702464}{219375}\right\},\left\{\text{AP}\to \frac{15}{8},\text{BP}\to \frac{117}{56},\text{CP}\to \frac{10}{7},t\to -\frac{702464}{219375}\right\}\right\}\]
最小值是35
nyy 发表于 2024-4-15 11:08
我只会拉格朗日乘子法，
求解结果：
计算完之后，还是应该检验一下这个P点是否在三角形之内，一种是算角度，一种是画图检验，我选择了画图检验。
毕竟图更容易让别人别人检验。
nyy 发表于 2024-4-15 13:16
计算完之后，还是应该检验一下这个P点是否在三角形之内，一种是算角度，一种是画图检验，我选择了画图检 ...
经过画图检验，∠BPC=120°，不知道为什么。谁能解释清楚，应该不是偶然的 需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b=b(x, y), CP=c=c(x, y), ``f(x,y)=7a+5b+8c\tag1`两边取偏导数（梯度算子）得 `\nabla f=7\nabla a+5\nabla b+8\nabla c\tag2`式中`\nabla a, \nabla b, \nabla c`具有特殊的几何意义，分别是`AP, BP, CP`方向的单位向量。
极小值在`\nabla f=0`处取得，`7\nabla a+5\nabla b+8\nabla c=0`对应一个边长为{7,5,8}的三角形。
本帖最后由 aimisiyou 于 2024-4-15 18:18 编辑
旋转缩放就能解释。 hujunhua 发表于 2024-4-15 15:56
需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b ...
从力的平衡来看，一个力是7，一个力是5，一个力是8，三个力平衡。
关键这三个数能构成三角形。如果这三个数不能构成三角形。
你的这个解释是不是就有问题了？ 如果这3个数不能构成三角形，那么最值就不是极值，不在`\nabla f=0`时取得。
最值将在边界上取得。 谢谢 hujunhua！有5#点拨,用方程这样解就可以！谢谢 hujunhua！
Solve[{s == 7 AP + 5 BP + 8 CP, 7^2 == 5^2 + 8^2 + 2*5*8 Cos, 5^2 == 8^2 + 7^2 + 2*8*7 Cos, 3^2 + (25/8)^2 - 2*3 (25/8) Cos == BP^2 + CP^2 - 2 BP*CP*Cos,
(25/8)^2 == CP^2 + AP^2 - 2 CP*AP*Cos, 3^2 == AP^2 + BP^2 - 2 AP*BP*Cos, Pi > A > 0, Pi > B >0, BP > 0, s > 0}, {A, B, AP, BP, CP, s}] // FullSimplify
{{A -> (2 \)/3, B -> 2 ArcTan], AP -> 15/8, BP -> 117/56, CP -> 10/7, s -> 35}}
当然，已知条件 7, 5, 8, 3, 25/8, 60° 可以变更。
百度太小气了。
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中考必刷最值题:5BP+7AP+8CP最小值,加权费马点,学霸瞪大眼!
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还是我们的 “数学研发” 好！谢谢 hujunhua！ 王守恩 发表于 2024-4-16 09:53
谢谢 hujunhua！有5#点拨,用方程这样解就可以！谢谢 hujunhua！
{{A -> (2 \)/3, B -> 2 ArcTan
Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
aaa=Solve==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
{AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[]),25/8};(*线段长度赋值*)
{wAP,wBP,wCP}={7,5,8};(*目标函数三个变量的权重*)
(*列方程组,解方程组*)
ans=Solve[{
(*三组余弦值的和等于零*)
cs+cs==0,
cs+cs==0,
cs+cs==0,
min==AP+BP+CP (*目标函数的最小值*)
},{AP,BP,CP,min}]//Simplify;
Grid(*列表显示*)
求解结果
\[\left\{\left\{\text{BC}\to \frac{\sqrt{601}}{8}\right\}\right\}\]
\[\begin{array}{llll}
\text{AP}\to -\frac{15}{8} & \text{BP}\to -\frac{117}{56} & \text{CP}\to -\frac{10}{7} & \min \to -\frac{151}{28} \\
\text{AP}\to \frac{15}{8} & \text{BP}\to \frac{117}{56} & \text{CP}\to \frac{10}{7} & \min \to \frac{151}{28} \\
\end{array}\]