P是△ABC内的动点，求7*AP+5*BP+8*CP的最小值

nyy

如图所示，现在初中生的题目是越来越难了！

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. aaa=Solve[cs[3,25/8,BC]==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. {AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[[1]]),25/8};(*线段长度赋值*)
   
8. f=7*AP+5*BP+8*CP+t*(fun[AP,BP,CP,BC,AC,AB]^2-0)//Simplify (*定义目录函数,约束条件:四面体的体积等于零*)
   
9. fx=D[f,{{AP,BP,CP,t}}]//Simplify (*对四个变量求解偏导数*)
   
10. ans=Solve[{fx==0},{AP,BP,CP,t}] (*偏导数等于零,求解方程组*)
    
11. out=f/.ans[[2]] (*得到目标函数的极值*)
    

复制代码

我只会拉格朗日乘子法，
求解结果：

BC长度
\[\left\{\left\{\text{BC}\to \frac{\sqrt{601}}{8}\right\}\right\}\]

目标函数是
\[-\frac{t \left(38464 \text{AP}^4-8 \text{AP}^2 \left(5200 \text{BP}^2+4416 \text{CP}^2+45075\right)+40000 \text{BP}^4-600 \text{BP}^2 \left(64 \text{CP}^2+575\right)+9 \left(4096 \text{CP}^4-41600 \text{CP}^2+375625\right)\right)}{589824}+7 \text{AP}+5 \text{BP}+8 \text{CP}\]

四个偏导数是
\[\left\{-\frac{601 \text{AP}^3 t}{2304}+\frac{\text{AP} t \left(5200 \text{BP}^2+4416 \text{CP}^2+45075\right)}{36864}+7,\frac{25 \text{BP} t \left(208 \text{AP}^2+192 \text{CP}^2+1725\right)}{36864}-\frac{625 \text{BP}^3 t}{2304}+5,\frac{1}{768} \text{CP} t \left(92 \text{AP}^2+100 \text{BP}^2+975\right)-\frac{\text{CP}^3 t}{4}+8,\frac{-38464 \text{AP}^4+8 \text{AP}^2 \left(5200 \text{BP}^2+4416 \text{CP}^2+45075\right)-40000 \text{BP}^4+600 \text{BP}^2 \left(64 \text{CP}^2+575\right)-9 \left(4096 \text{CP}^4-41600 \text{CP}^2+375625\right)}{589824}\right\}\]

求解结果是
\[\left\{\left\{\text{AP}\to -\frac{15}{8},\text{BP}\to -\frac{117}{56},\text{CP}\to -\frac{10}{7},t\to \frac{702464}{219375}\right\},\left\{\text{AP}\to \frac{15}{8},\text{BP}\to \frac{117}{56},\text{CP}\to \frac{10}{7},t\to -\frac{702464}{219375}\right\}\right\}\]

最小值是35

nyy

nyy 发表于 2024-4-15 11:08
我只会拉格朗日乘子法，
求解结果：

计算完之后，还是应该检验一下这个P点是否在三角形之内，一种是算角度，一种是画图检验，我选择了画图检验。
毕竟图更容易让别人别人检验。

nyy

nyy 发表于 2024-4-15 13:16
计算完之后，还是应该检验一下这个P点是否在三角形之内，一种是算角度，一种是画图检验，我选择了画图检 ...

经过画图检验，∠BPC=120°，不知道为什么。谁能解释清楚，应该不是偶然的

hujunhua

需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b=b(x, y), CP=c=c(x, y), ``f(x,y)=7a+5b+8c\tag1`两边取偏导数（梯度算子）得     `\nabla f=7\nabla a+5\nabla b+8\nabla c\tag2`式中`\nabla a, \nabla b, \nabla c`具有特殊的几何意义，分别是`AP, BP, CP`方向的单位向量。
极小值在`\nabla f=0`处取得，`7\nabla a+5\nabla b+8\nabla c=0`对应一个边长为{7,5,8}的三角形。

aimisiyou

旋转缩放就能解释。

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-15 15:56
需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b ...

从力的平衡来看，一个力是7，一个力是5，一个力是8，三个力平衡。
关键这三个数能构成三角形。如果这三个数不能构成三角形。
你的这个解释是不是就有问题了？

hujunhua

如果这3个数不能构成三角形，那么最值就不是极值，不在`\nabla f=0`时取得。
最值将在边界上取得。

王守恩

谢谢 hujunhua！有5#点拨,  用方程这样解就可以！谢谢 hujunhua！

1. Solve[{s == 7 AP + 5 BP + 8 CP, 7^2 == 5^2 + 8^2 + 2*5*8 Cos[A], 5^2 == 8^2 + 7^2 + 2*8*7 Cos[B], 3^2 + (25/8)^2 - 2*3 (25/8) Cos[Pi/3] == BP^2 + CP^2 - 2 BP*CP*Cos[A],
   
2. (25/8)^2 == CP^2 + AP^2 - 2 CP*AP*Cos[B], 3^2 == AP^2 + BP^2 - 2 AP*BP*Cos[A + B], Pi > A > 0, Pi > B >0, BP > 0, s > 0}, {A, B, AP, BP, CP, s}] // FullSimplify

复制代码

{{A -> (2 \[Pi])/3, B -> 2 ArcTan[5/Sqrt[3]], AP -> 15/8, BP -> 117/56, CP -> 10/7, s -> 35}}

当然，已知条件 7, 5, 8, 3, 25/8, 60° 可以变更。

百度太小气了。
为您找到以下结果孺子牛八的动态-哔哩哔哩
中考必刷最值题:5BP+7AP+8CP最小值,加权费马点,学霸瞪大眼!
请先登录后发表评论 (・ω・) 发布。
还是我们的 “数学研发” 好！谢谢 hujunhua！

nyy

王守恩 发表于 2024-4-16 09:53
谢谢 hujunhua！有5#点拨,  用方程这样解就可以！谢谢 hujunhua！

{{A -> (2 \[Pi])/3, B -> 2 ArcTan[5/S ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. aaa=Solve[cs[3,25/8,BC]==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
   
5. {AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[[1]]),25/8};(*线段长度赋值*)
   
6. {wAP,wBP,wCP}={7,5,8};(*目标函数三个变量的权重*)
   
7. (*列方程组,解方程组*)
   
8. ans=Solve[{
   
9.     (*三组余弦值的和等于零*)
   
10.     cs[AP,BP,AB]+cs[wAP,wBP,wCP]==0,
    
11.     cs[BP,CP,BC]+cs[wBP,wCP,wAP]==0,
    
12.     cs[CP,AP,AC]+cs[wCP,wAP,wBP]==0,
    
13.     min==AP+BP+CP (*目标函数的最小值*)
    
14. },{AP,BP,CP,min}]//Simplify;
    
15. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

求解结果

\[\left\{\left\{\text{BC}\to \frac{\sqrt{601}}{8}\right\}\right\}\]

\[\begin{array}{llll}
\text{AP}\to -\frac{15}{8} & \text{BP}\to -\frac{117}{56} & \text{CP}\to -\frac{10}{7} & \min \to -\frac{151}{28} \\
\text{AP}\to \frac{15}{8} & \text{BP}\to \frac{117}{56} & \text{CP}\to \frac{10}{7} & \min \to \frac{151}{28} \\
\end{array}\]