P是△ABC内的动点，求7*AP+5*BP+8*CP的最小值

nyy

现在来总结一下：
假设加权费马问题如下：
对于a*PA+b*PB+c*PC的形式(不要把我这个目标函数搞成LaTeX，LaTeX不方便复制传播，用这个纯文字方便复制，且不影响阅读)

假设A是旋转中心（BC同理，不详细叙述）。
把目标函数a*PA+b*PB+c*PC=b*(a/b*PA+PB+c/b*PC)=c*(a/c*PA+b/c*PB+PC)，
如果是b*(a/b*PA+PB+c/b*PC)这种形式，那么就绕着A点旋转，放大比例为c/b,旋转的三角形是APC（BP系数等于1，BP所正对的三角形）
如果是c*(a/c*PA+b/c*PB+PC)这种形式， 那么就绕着A点旋转，放大比例为b/c，旋转的三角形是APB

旋转的角度=arccos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c))



补充内容 (2024-4-17 10:20):
a*PA+b*PB+c*PC=a*(PA+b/a*PB+c/a*PC)，其中系数=1的PA项，表示旋转△PBC，对于BC两点，如果一点是旋转中心，那么另外一项前面的系数就是缩放比例

补充内容 (2024-4-17 10:21):
假设A是旋转中心，那么旋转的角度=arccos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c))，其余同理

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-15 15:56
需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b ...

如果是求2*AP+5*BP+8*CP，怎么办？我拉格朗日乘子法，结果出来四组复数解，这明显是错误的结果！

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. aaa=Solve[cs[3,25/8,BC]==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. {AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[[1]]),25/8};(*线段长度赋值*)
   
8. f=2*AP+5*BP+8*CP+t*(fun[AP,BP,CP,BC,AC,AB]^2-0)//Simplify (*定义目录函数,约束条件:四面体的体积等于零*)
   
9. fx=D[f,{{AP,BP,CP,t}}]//Simplify (*对四个变量求解偏导数*)
   
10. ans=Solve[{fx==0},{AP,BP,CP,t}]//FullSimplify//ToRadicals (*偏导数等于零,求解方程组*)
    
11. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
12. out=f/.ans//FullSimplify//ToRadicals (*得到目标函数的极值*)
    

复制代码

输出结果
\[\begin{array}{llll}
\text{AP}\to \frac{1}{2} (-15) \sqrt{-\frac{24293}{290939}-\frac{61 i \sqrt{11}}{26449}} & \text{BP}\to \frac{3}{4} \sqrt{\frac{-4143221+259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{5}{4} \sqrt{\frac{-420853-865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to -\frac{90112 \sqrt{2133636107109973-2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\text{AP}\to \frac{15}{2} \sqrt{-\frac{24293}{290939}-\frac{61 i \sqrt{11}}{26449}} & \text{BP}\to \frac{1}{4} (-3) \sqrt{\frac{-4143221+259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{1}{4} (-5) \sqrt{\frac{-420853-865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to \frac{90112 \sqrt{2133636107109973-2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\text{AP}\to \frac{1}{2} (-15) \sqrt{\frac{-24293+671 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{BP}\to \frac{3}{4} \sqrt{\frac{-4143221-259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{5}{4} \sqrt{\frac{-420853+865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to -\frac{90112 \sqrt{2133636107109973+2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\text{AP}\to \frac{15}{2} \sqrt{\frac{-24293+671 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{BP}\to \frac{1}{4} (-3) \sqrt{\frac{-4143221-259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{1}{4} (-5) \sqrt{\frac{-420853+865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to \frac{90112 \sqrt{2133636107109973+2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{AP}\to -0.0991641+2.16948 i & \text{BP}\to 0.292949\, +2.8454 i & \text{CP}\to 2.58001\, -2.98607 i & t\to -0.399315+0.30714 i \\
\text{AP}\to 0.0991641\, -2.16948 i & \text{BP}\to -0.292949-2.8454 i & \text{CP}\to -2.58001+2.98607 i & t\to 0.399315\, -0.30714 i \\
\text{AP}\to -0.0991641-2.16948 i & \text{BP}\to 0.292949\, -2.8454 i & \text{CP}\to 2.58001\, +2.98607 i & t\to -0.399315-0.30714 i \\
\text{AP}\to 0.0991641\, +2.16948 i & \text{BP}\to -0.292949+2.8454 i & \text{CP}\to -2.58001-2.98607 i & t\to 0.399315\, +0.30714 i \\
\end{array}\]

四个目标函数值分别是
\[\left\{\frac{5}{4} \sqrt{289-45 i \sqrt{11}},\frac{1}{4} (-5) \sqrt{289-45 i \sqrt{11}},\frac{5}{4} \sqrt{289+45 i \sqrt{11}},\frac{1}{4} (-5) \sqrt{289+45 i \sqrt{11}}\right\}\]
数值化
\[\{21.9065\, -5.32264 i,-21.9065+5.32264 i,21.9065\, +5.32264 i,-21.9065-5.32264 i\}\]

很明显是存在最小值的。现在这个结果明显有问题

nyy

nyy 发表于 2024-4-18 13:36
如果是求2*AP+5*BP+8*CP，怎么办？我拉格朗日乘子法，结果出来四组复数解，这明显是错误的结果！

可以用BP CP来表达AP，然后画出2*AP+5*BP+8*CP的图（自变量是BP CP），画出一个三维图，应该是光滑的，我要好好研究一下为什么失败

nyy

nyy 发表于 2024-4-19 09:01
可以用BP CP来表达AP，然后画出2*AP+5*BP+8*CP的图（自变量是BP CP），画出一个三维图，应该是光滑的，我 ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. aaa=Solve[cs[3,25/8,BC]==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. {AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[[1]]),25/8};(*线段长度赋值*)
   
8. ans=Solve[fun[AP,BP,CP,BC,AC,AB]==0,{AP}]//Simplify(*用BP,CP来表达AP*)
   
9. f1=2*AP+5*BP+8*CP/.ans[[2]]//Simplify (*第1部分*)
   
10. f2=2*AP+5*BP+8*CP/.ans[[4]]//Simplify (*第2部分*)
    
11. h1=Plot3D[f1,{BP,0,10},{CP,0,10},Mesh->100](*第1部分三维图*)
    
12. h2=Plot3D[f2,{BP,0,10},{CP,0,10},Mesh->100](*第2部分三维图*)
    
13. Show[h1,h2](*显示两部分图片*)
    

复制代码

@hujunhua 看看，为什么图上有最小值，然后拉格朗日乘子法找不到最小值？难道导数不存在？

nyy

nyy 发表于 2024-4-19 09:30
@hujunhua 看看，为什么图上有最小值，然后拉格朗日乘子法找不到最小值？难道导数不存在？ ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. aaa=Solve[cs[3,25/8,BC]==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. {AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[[1]]),25/8};(*线段长度赋值*)
   
8. cond=fun[AP,BP,CP,BC,AC,AB]^2 (*体积等于零的约束条件*)
   
9. obj=2*AP+5*BP+8*CP (*目标函数*)
   
10. (*求解出最小值*)
    
11. ans=Minimize[{obj,cond==0&&AP>=0&&BP>=0&&CP>=0},{AP,BP,CP}]//FullSimplify
    

复制代码

我自己找到最小值了。

约束条件，并且非负变量
\[\frac{-4923392 \text{AP}^4+5324800 \text{AP}^2 \text{BP}^2+4521984 \text{AP}^2 \text{CP}^2+46156800 \text{AP}^2-5120000 \text{BP}^4+4915200 \text{BP}^2 \text{CP}^2+44160000 \text{BP}^2-4718592 \text{CP}^4+47923200 \text{CP}^2-432720000}{75497472}=0\]


求解结果

\[\left\{\frac{5}{8} \left(\sqrt{601}+10\right),\left\{\text{AP}\to \frac{25}{8},\text{BP}\to \frac{\sqrt{601}}{8},\text{CP}\to 0\right\}\right\}\]

这个是在定点求得最小值。

函数的最值有可能在边界上取得，然后这儿的导数未必等于零，是这个意思吧？
@hujunhua

nyy

nyy 发表于 2024-4-22 08:39
我自己找到最小值了。

约束条件，并且非负变量

极值出现在不可导点、kkt条件点

王守恩

谢谢 hujunhua！5#,8#说得很清楚了，再不清楚就看你自己了。

1. Table[NMinimize[{7 AP + 8 BP + 9 CP, 7^2 == 8^2 + 9^2 - 2*8*9*Cos[x], Sin[A Pi/180]^2 == BP^2 + CP^2 + 2*BP*CP*Cos[x], Sin[B Pi/180]^2 == CP^2 + AP^2 + 2*CP*AP*Cos[y],
   
2.    Sin[(A + B) Pi/180]^2 == AP^2 + BP^2 - 2*AP*BP*Cos[x + y], Pi/3 > x > 0, Pi/2 > y > 0, AP > 0, BP > 0, CP > 0}, {x, y, AP, BP, CP}], {A, 54, 54}, {B, A + 1, (180 - A)/2}]

复制代码

BC=54°, CA=55°, AB=71°。{11.6240, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.611658, BP -> 0.567144, CP -> 0.311696}},
BC=54°, CA=56°, AB=70°。{11.6564, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.613516, BP -> 0.557750, CP -> 0.322201}},
BC=54°, CA=57°, AB=69°。{11.6859, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.615052, BP -> 0.548262, CP -> 0.332713}},
BC=54°, CA=58°, AB=68°。{11.7124, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.616269, BP -> 0.538685, CP -> 0.343227}},
BC=54°, CA=59°, AB=67°。{11.7360, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617167, BP -> 0.529023, CP -> 0.353737}},
BC=54°, CA=60°, AB=66°。{11.7566, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617746, BP -> 0.519279, CP -> 0.364238}},
BC=54°, CA=61°, AB=65°。{11.7742, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.618006, BP -> 0.509459, CP -> 0.374724}},
BC=54°, CA=62°, AB=64°。{11.7889, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617949, BP -> 0.499566, CP -> 0.385191}},
BC=54°, CA=63°, AB=63°。{11.8006, {x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617575, BP -> 0.489604, CP -> 0.395633}}}}

1. Table[NSolve[{s==7AP+8BP+9CP, 7^2==8^2+9^2-2*8*9*Cos[x], 8^2==9^2+7^2-2*9*7*Cos[y], Sin[A Pi/180]^2==BP^2+CP^2+2*BP*CP*Cos[x], Sin[B Pi/180]^2==CP^2+AP^2+2*CP*AP*Cos[y],
   
2. Sin[(A + B) Pi/180]^2 == AP^2 + BP^2 - 2*AP*BP*Cos[x + y], Pi/2 > x > 0, Pi/2 > y > 0, AP > 0, BP > 0, CP > 0}, {x, y, AP, BP, CP, s}], {A, 54, 54}, {B, A + 1, (180 - A)/2}]

复制代码

BC=54°, CA=55°, AB=71°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.611658, BP -> 0.567144, CP -> 0.311696, s -> 11.6240}},
BC=54°, CA=56°, AB=70°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.613516, BP -> 0.557750, CP -> 0.322201, s -> 11.6564}},
BC=54°, CA=57°, AB=69°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.615052, BP -> 0.548262, CP -> 0.332713, s -> 11.6859}},
BC=54°, CA=58°, AB=68°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.616269, BP -> 0.538685, CP -> 0.343227, s -> 11.7124}},
BC=54°, CA=59°, AB=67°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617167, BP -> 0.529023, CP -> 0.353737, s -> 11.7360}},
BC=54°, CA=60°, AB=66°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617746, BP -> 0.519279, CP -> 0.364238, s -> 11.7566}},
BC=54°, CA=61°, AB=65°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.618006, BP -> 0.509459, CP -> 0.374724, s -> 11.7742}},
BC=54°, CA=62°, AB=64°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617949, BP -> 0.499566, CP -> 0.385191, s -> 11.7889}},
BC=54°, CA=63°, AB=63°。{{x -> 0.841069, y -> 1.01948, AP -> 0.617575, BP -> 0.489604, CP -> 0.395633, s -> 11.8006}}}}

现在来总结一下：
假设加权费马问题如下：
对于a*PA+b*PB+c*PC的形式(BC=sin(A),CA=sin(B),AB=sin(A+B))
关键是 \(\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(A+B)}\) 要在一个合理的范围。

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-15 21:10
如果这3个数不能构成三角形，那么最值就不是极值，不在`\nabla f=0`时取得。
最值将在边界上取得。 ...

我觉得应该是在顶点取得，而不是边界上。当然，也有一些特殊的情况下，在边界能有最值

hejoseph

完整的结论如下：
如果求 $k_1PA+k_2PB+k_3PC$ 的最小值，其中 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 都是已知正数。这里设 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，$\triangle ABC$ 的面积为 $S$。
当 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 不能构成三角形，那么所求的点 $P$ 就是 $k_1PA+k_2PB+k_3PC$ 中 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 最大的那个三角形顶点。
当  $k_1$、$k_2$、$k_3$ 能构成三角形，设 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 所对的内角分别为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，面积为 $S'$。当 $\angle A+\alpha<180^\circ$，$\angle B+\beta<180^\circ$，$\angle C+\gamma<180^\circ$ 时所求的点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且
\begin{align*}
&k_1PA+k_2PB+k_3PC=\sqrt{bck_1^2\cos A+ack_2^2\cos B+abk_3^2\cos C+8SS'}\\
&PA=\frac{bck_1k_2k_3\sin(A+\alpha)}{2S'\sqrt{bck_1^2\cos A+ack_2^2\cos B+abk_3^2\cos C+8SS'}}\\
&PB=\frac{ack_1k_2k_3\sin(B+\beta)}{2S'\sqrt{bck_1^2\cos A+ack_2^2\cos B+abk_3^2\cos C+8SS'}}\\
&PC=\frac{abk_1k_2k_3\sin(C+\gamma)}{2S'\sqrt{bck_1^2\cos A+ack_2^2\cos B+abk_3^2\cos C+8SS'}}
\end{align*}
在$\triangle ABC$ 外作 $\triangle CBA_1$、$\triangle ACB_1$、$\triangle BAC_1$，使 $\angle BA_1C=\angle B_1AC=\angle BAC_1=\alpha$，$\angle CBA_1=\angle CB_1A=\angle C_1BA=\beta$，$\angle A_1CB=\angle ACB_1=\angle AC_1B=\gamma$，则 \(AA_1\)、\(BB_1\)、\(CC_1\) 共点，这个公共点就是所求的点 $P$。当 $\angle A+\alpha<180^\circ$，$\angle B+\beta<180^\circ$，$\angle C+\gamma<180^\circ$ 其中一个不满足时，则不满足条件的那个不等式的三角形顶点就是所求的点 $P$。

nyy

hejoseph 发表于 2024-4-27 18:36
完整的结论如下：
如果求 $k_1PA+k_2PB+k_3PC$ 的最小值，其中 $k_1$、$k_2$、$k_3$ 都是已知正数。这里设 ...

PABC1，四点共圆，对吧？