P是△ABC内的动点，求7*AP+5*BP+8*CP的最小值

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-15 15:56
需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b ...

沿着PA方向施加一个大小=7的力，
沿着PB方向施加一个大小=5的力，
沿着PC方向施加一个大小=8的力，
力的作用点都在P点，
当三个力平衡了，那么就是极值点！
这是从物理的角度来解决这个问题！
我觉得你的解释应该从物理的角度来解释

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-15 15:56
需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b ...

我认为你的全微分的解释不对呀，为什么呢？你这全微分，有三个向量，而这三个向量是线性相关的

王守恩

1. NSolve[{s==9AP+8BP+7CP,6^2==BP^2+CP^2-2BP*CP*Cos[A],5^2==CP^2+AP^2-2CP*AP*Cos[B],4^2==AP^2+BP^2-2AP*BP*Cos[A+B],9^2==8^2+7^2+2*8*7Cos[A],8^2==7^2+9^2+2*7*9Cos[B],......
   
2. NMinimize[{9AP+8BP+7CP,6^2==BP^2+CP^2-2BP*CP*Cos[A],5^2==CP^2+AP^2-2CP*AP*Cos[B],4^2==AP^2+BP^2-2AP*BP*Cos[A+B], Pi > A > 0, Pi> B > 0, AP > 0, BP > 0, CP > 0}, {A, B, AP, BP, CP}]

复制代码

(01): {{A -> 1.86055, B -> 2.12211, AP -> 1.15526, BP -> 3.13605, CP -> 4.29706, s -> 65.5651}}
(02): {65.5651, {A -> 1.8605, B -> 2.12206, AP -> 1.15515, BP -> 3.13606, CP -> 4.29719}}

只要(02)有正常解,  (01)的解=(02)的解。

主帖 :  P是△ABC内的动点，求u*AP+v*BP+w*CP的最小值。
费马点:  P是△ABC内的动点，求1*AP+1*BP+1*CP的最小值。
求费马点=主帖, 求主帖=费马点,  (02),(01)不变。

nyy

对于$a*PA+b*PB+c*PC$的形式
(1)、提取a,b,c中最小系数
(2)、大小居中的系数确定位似比
(3)、最大系数确定旋转中心(系数为1的边不动)
(4)、族转角-般为特珠角.
假设C点是旋转中心，那么旋转的角度=arccos((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)) (这个是我的补充)

【中考数学】初中必会——“费马点”详解！附视频！（原理、技巧、加权通解方法）

nyy

nyy 发表于 2024-4-16 13:28
对于a*PA+b*PB+c*PC的形式
(1)、提取a,b,c中最小系数
(2)、大小居中的系数确定位似比

我按照这个思路，画了图检验很正确。

nyy

三角形加权费马点最小值的快速计算方法

我以为是多么难的东西，只要自己亲自操手一次，很多就懂了！

nyy

现在来总结一下：
假设加权费马问题如下：
对于a*PA+b*PB+c*PC的形式(不要把我这个目标函数搞成LaTeX，LaTeX不方便复制传播，用这个纯文字方便复制，且不影响阅读)

假设A是旋转中心（BC同理，不详细叙述）。
把目标函数a*PA+b*PB+c*PC=b*(a/b*PA+PB+c/b*PC)=c*(a/c*PA+b/c*PB+PC)，
如果是b*(a/b*PA+PB+c/b*PC)这种形式，那么就绕着A点旋转，放大比例为c/b,旋转的三角形是APC（BP系数等于1，BP所正对的三角形）
如果是c*(a/c*PA+b/c*PB+PC)这种形式， 那么就绕着A点旋转，放大比例为b/c，旋转的三角形是APB

旋转的角度=arccos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c))



补充内容 (2024-4-17 10:20):
a*PA+b*PB+c*PC=a*(PA+b/a*PB+c/a*PC)，其中系数=1的PA项，表示旋转△PBC，对于BC两点，如果一点是旋转中心，那么另外一项前面的系数就是缩放比例

补充内容 (2024-4-17 10:21):
假设A是旋转中心，那么旋转的角度=arccos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c))，其余同理

nyy

hujunhua 发表于 2024-4-15 15:56
需要一个高端一点的解法才能解释，清不清楚就看你自己了。
记P点的坐标为 `P(x, y)`
记`AP=a=a(x, y), BP=b ...

如果是求2*AP+5*BP+8*CP，怎么办？我拉格朗日乘子法，结果出来四组复数解，这明显是错误的结果！

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. aaa=Solve[cs[3,25/8,BC]==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. {AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[[1]]),25/8};(*线段长度赋值*)
   
8. f=2*AP+5*BP+8*CP+t*(fun[AP,BP,CP,BC,AC,AB]^2-0)//Simplify (*定义目录函数,约束条件:四面体的体积等于零*)
   
9. fx=D[f,{{AP,BP,CP,t}}]//Simplify (*对四个变量求解偏导数*)
   
10. ans=Solve[{fx==0},{AP,BP,CP,t}]//FullSimplify//ToRadicals (*偏导数等于零,求解方程组*)
    
11. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
12. out=f/.ans//FullSimplify//ToRadicals (*得到目标函数的极值*)
    

复制代码

输出结果
\[\begin{array}{llll}
\text{AP}\to \frac{1}{2} (-15) \sqrt{-\frac{24293}{290939}-\frac{61 i \sqrt{11}}{26449}} & \text{BP}\to \frac{3}{4} \sqrt{\frac{-4143221+259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{5}{4} \sqrt{\frac{-420853-865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to -\frac{90112 \sqrt{2133636107109973-2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\text{AP}\to \frac{15}{2} \sqrt{-\frac{24293}{290939}-\frac{61 i \sqrt{11}}{26449}} & \text{BP}\to \frac{1}{4} (-3) \sqrt{\frac{-4143221+259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{1}{4} (-5) \sqrt{\frac{-420853-865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to \frac{90112 \sqrt{2133636107109973-2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\text{AP}\to \frac{1}{2} (-15) \sqrt{\frac{-24293+671 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{BP}\to \frac{3}{4} \sqrt{\frac{-4143221-259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{5}{4} \sqrt{\frac{-420853+865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to -\frac{90112 \sqrt{2133636107109973+2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\text{AP}\to \frac{15}{2} \sqrt{\frac{-24293+671 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{BP}\to \frac{1}{4} (-3) \sqrt{\frac{-4143221-259985 i \sqrt{11}}{290939}} & \text{CP}\to \frac{1}{4} (-5) \sqrt{\frac{-420853+865041 i \sqrt{11}}{290939}} & t\to \frac{90112 \sqrt{2133636107109973+2423317420571631 i \sqrt{11}}}{16311524765625} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{AP}\to -0.0991641+2.16948 i & \text{BP}\to 0.292949\, +2.8454 i & \text{CP}\to 2.58001\, -2.98607 i & t\to -0.399315+0.30714 i \\
\text{AP}\to 0.0991641\, -2.16948 i & \text{BP}\to -0.292949-2.8454 i & \text{CP}\to -2.58001+2.98607 i & t\to 0.399315\, -0.30714 i \\
\text{AP}\to -0.0991641-2.16948 i & \text{BP}\to 0.292949\, -2.8454 i & \text{CP}\to 2.58001\, +2.98607 i & t\to -0.399315-0.30714 i \\
\text{AP}\to 0.0991641\, +2.16948 i & \text{BP}\to -0.292949+2.8454 i & \text{CP}\to -2.58001-2.98607 i & t\to 0.399315\, +0.30714 i \\
\end{array}\]

四个目标函数值分别是
\[\left\{\frac{5}{4} \sqrt{289-45 i \sqrt{11}},\frac{1}{4} (-5) \sqrt{289-45 i \sqrt{11}},\frac{5}{4} \sqrt{289+45 i \sqrt{11}},\frac{1}{4} (-5) \sqrt{289+45 i \sqrt{11}}\right\}\]
数值化
\[\{21.9065\, -5.32264 i,-21.9065+5.32264 i,21.9065\, +5.32264 i,-21.9065-5.32264 i\}\]

很明显是存在最小值的。现在这个结果明显有问题

nyy

nyy 发表于 2024-4-18 13:36
如果是求2*AP+5*BP+8*CP，怎么办？我拉格朗日乘子法，结果出来四组复数解，这明显是错误的结果！

可以用BP CP来表达AP，然后画出2*AP+5*BP+8*CP的图（自变量是BP CP），画出一个三维图，应该是光滑的，我要好好研究一下为什么失败

nyy

nyy 发表于 2024-4-19 09:01
可以用BP CP来表达AP，然后画出2*AP+5*BP+8*CP的图（自变量是BP CP），画出一个三维图，应该是光滑的，我 ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. aaa=Solve[cs[3,25/8,BC]==1/2&&BC>0,{BC}] (*用余弦定理求解BC的长度*)
   
5. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
6. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
7. {AB,BC,AC}={3,(BC/.aaa[[1]]),25/8};(*线段长度赋值*)
   
8. ans=Solve[fun[AP,BP,CP,BC,AC,AB]==0,{AP}]//Simplify(*用BP,CP来表达AP*)
   
9. f1=2*AP+5*BP+8*CP/.ans[[2]]//Simplify (*第1部分*)
   
10. f2=2*AP+5*BP+8*CP/.ans[[4]]//Simplify (*第2部分*)
    
11. h1=Plot3D[f1,{BP,0,10},{CP,0,10},Mesh->100](*第1部分三维图*)
    
12. h2=Plot3D[f2,{BP,0,10},{CP,0,10},Mesh->100](*第2部分三维图*)
    
13. Show[h1,h2](*显示两部分图片*)
    

复制代码

@hujunhua 看看，为什么图上有最小值，然后拉格朗日乘子法找不到最小值？难道导数不存在？