葡萄糖 发表于 2022-1-31 18:28
这个结果有问题，数值对不上
是不是哪里漏了？
仔细分析后得出：这两个公式都是计算`\sin(59°)`（或`\cos(31°) `）的公式，只是前一个公式中少了一个减号，后一个公式中少了一个加号。分析如下：
设`x=\sin(1°)`
根据`\sin`的3倍角公式：`x^3-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}\sin(3°)=0`
令：`p=-\dfrac{3}{4}，q=\dfrac{\sin(3°)}{4}，ω_1=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}，ω_2=\dfrac{-1-\sqrt{-3}}{2}`
其中：`\sin(3°)=\dfrac{1}{16}[(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}]`
根据一元三次求根公式：
`x_1=\sqrt{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}`
`x_2=ω_1\sqrt{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+ω_2\sqrt{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}`
`x_3=ω_2\sqrt{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+ω_1\sqrt{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}`
经数学软件验算得到：
`x_1=\sin(59°)=\cos(31°)`
`x_2=\sin(-61°)=\cos(151°)`
`x_3=\sin(1°)=\cos(89°)`
将`p、q`用具体实数代入后得：
`x_1=\sin(59°)=\cos(31°)=`
`\sqrt{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}
+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`+\sqrt{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}
+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`x_2=\sin(-61°)=\cos(151°)=`
`ω_1\sqrt{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt
{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`+ω_2\sqrt{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt
{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`x_3=\sin(1°)=\cos(89°)=`
`ω_2\sqrt{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt
{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
`+ω_1\sqrt{\dfrac{{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{{(\sqrt{5}-1)(\sqrt
{6}+\sqrt{2})}-{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{64}\right)^2-\dfrac{1}{64}}}`
注意：上面的各计算公式中，都出现了虚数。其中开方和开立方计算是取主值运算（一般计算器、有些数学软件开方和开立方的计算不是要求的取主值运算，故其有可能不能按
上面公式求出一元三次方程的正确解），举例如下：
`\sqrt{4}=2，\sqrt{-4}=2i，\sqrt{i}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i，\sqrt{-i}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i`
`\sqrt{8}=2，\sqrt{-8}=-2，\sqrt{i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i，\sqrt{-i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i`
在这里，我也想提一个思考了很长时间的问题：
`\sin(1°)`是否能用一些整数，在实数范围内通过加、减、乘、除、开方、开立方运算得到（也就是不能出现负数开方）？我猜想是不可能的，但没能严谨证明这个结论。
本论坛有多位编程及数学软件应用的绝对高手，不知是否能解决这个也是很有意思的问题。
本帖最后由 TSC999 于 2022-2-10 19:09 编辑
-8 的立方根的 “主值”是个啥？ 有人认为是-2， 但是 mathmatica 并不认可，它认为 “主值”是下面这个复数：
没有见书上对开方的 “主值”给出定义，尽管可以给出这个定义。没有主值定义， 计算起来就会随心所欲，同一个式子不同的人算，结果会不一样。
直接让Mathematica来算一下就行了