在△ABC中，∠BAC=60°，点D是BC边上一点，且BD=2CD，AD=2，求△ABC面积的最大值
本帖最后由 nyy 于 2024-5-9 15:46 编辑如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D是BC边上一点，且BD=2CD，AD=2，求△ABC面积的最大值
如上图标示的变量。
用拉格朗日乘子法解决问题
Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
heron:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt]
cond1=Numerator@Together-Cos](*△ABC中,对∠BAC使用余弦定理*)
cond2=Numerator@Together+cs](*两个角的余弦值相加等于零*)
f=heron^2+x1*cond1+x2*cond2//Simplify (*建立面积目标函数*)
ans=Solve[
D==0 (*求偏导数,偏导数等于零*)
&&b>0&&c>0&&x>0(*限制变量范围*)
,{b,c,x,x1,x2}]//FullSimplify//ToRadicals
Grid(*列表显示*)
aaa=Sqrt//Simplify(*求出对应的面积值*)
(*直接调用mathematica函数求解*)
Maximize[{heron,cond1==0&&cond2==0&&b>=0&&c>=0&&x>=0},{b,c,x}]
60°约束条件1
\
余弦值相加等于零约数条件2
\[-2 b^2-c^2+6 x^2+12=0\]
目标函数
\
求解方程组，得到
\[\begin{array}{lllll}
b\to -3 & c\to 0 & x\to -1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to -3 & c\to 0 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to -3 & c\to 6 & x\to -\sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to -3 & c\to 6 & x\to \sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to 0 & c\to -6 & x\to -2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 0 & c\to -6 & x\to 2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 0 & c\to 6 & x\to -2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 0 & c\to 6 & x\to 2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 3 & c\to -6 & x\to -\sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to 3 & c\to -6 & x\to \sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to 3 & c\to 0 & x\to -1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 3 & c\to 0 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to -\sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to -1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to -\sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to 1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to -1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to 2 (-1)^{11/12} \sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1+i \sqrt{3}\right) \\
b\to \sqrt{6-2 i \sqrt{3}} & c\to 2 \sqrt{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1+i \sqrt{3}\right) \\
b\to -2 \sqrt{-1} \sqrt{3} & c\to 2 i \sqrt{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1-i \sqrt{3}\right) \\
b\to 2 \sqrt{-1} \sqrt{3} & c\to -2 i \sqrt{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1-i \sqrt{3}\right) \\
\end{array}\]
由于bcx三个变量大于零，过滤后，得到
\[\begin{array}{lllll}
b\to \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
\end{array}\]
求得对应的面积
\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right\}\]
直接调用mathematica函数，得到
\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\left\{b\to \sqrt{3},c\to 2 \sqrt{3},x\to 1\right\}\right\}\]
nyy 发表于 2024-5-9 16:11
如上图标示的变量。
用拉格朗日乘子法解决问题
由上面的约束条件，假设x已知，求解b c变量，得到
\[\left\{\left\{b\to -\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}},c\to \frac{\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}} \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{x^2-4}\right\},\left\{b\to \sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}},c\to -\frac{\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}} \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{x^2-4}\right\},\left\{b\to -\sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6},c\to \frac{\left(x^2-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right) \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6}}{x^2-4}\right\},\left\{b\to \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6},c\to \frac{\sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6} \left(-x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}-2\right)}{x^2-4}\right\}\right\}\]
用x=1.1，代入上面的结果，得到第二组解才是合适的。
得到
\[\left\{b\to \sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}},c\to -\frac{\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}} \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{x^2-4}\right\}\]
0.5*sin(60°)*b*c，因此可以得到面积表达式（化简后）
\[-\frac{\sqrt{3} \left(6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}\right) \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{4 \left(x^2-4\right)}\]
画出函数图如下
求出导数，并且化简
\[-\frac{3 x \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}-4\right)}{2 \sqrt{-x^4+8 x^2-4}}\]
导数等于零，得到
\[\{\{x\to -1\},\{x\to 0\},\{x\to 1\}\}\]
求得对应的bc值
\[\left\{\left\{b\to \sqrt{3},c\to 2 \sqrt{3}\right\},\left\{b\to \sqrt{6-2 i \sqrt{3}},c\to \frac{1}{4} \sqrt{6-2 i \sqrt{3}} \left(2+2 i \sqrt{3}\right)\right\},\left\{b\to \sqrt{3},c\to 2 \sqrt{3}\right\}\right\}\]
求得面积值
\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\frac{3}{2} \left(\sqrt{3}+i\right),\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right\}\]
所有代码如下
Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
cond1=Numerator@Together-Cos](*△ABC中,对∠BAC使用余弦定理*)
cond2=Numerator@Together+cs](*两个角的余弦值相加等于零*)
aa=Solve[{cond1,cond2}==0,{b,c}]//Simplify
bb=aa/.{x->1.1}(*根据x=1.1找出哪组解是合适的,根据结果,只有第二组解合适*)
f=(b*c*Sin/2)/.aa[](*代入面积表达式*)
Plot(*画出函数图*)
fx=D//Simplify(*求导数*)
cc=Solve(*得到零点*)
dd=aa[]/.cc//Simplify(*得到b与c的值*)
ee=f/.cc//Simplify(*求出对应的面积表达式的值*)
本帖最后由 hejoseph 于 2024-5-9 17:06 编辑
如果 $\angle BAC$ 记为 $A$，$AD=d$，$BD:CD=t:u$，设 $BD=tx$，$CD=ux$，根据余弦定理
\[
\cos\angle ADB=\frac{d^2+t^2x^2-AB^2}{2dtx}，\cos\angle ADC=\frac{d^2+u^2x^2-AC^2}{2dux}
\]
因为 $\cos\angle ADB+\cos\angle ADC=0$，得
\[
\frac{d^2+t^2x^2-AB^2}{2dtx}+\frac{d^2+u^2x^2-AC^2}{2dux}=0
\]
即
\[
tu(t+u)x^2+(t+u)d^2=uAB^2+tAC^2
\]
再用余弦定理得
\[
AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=(t+u)^2x^2
\]
即
\[
x^2=\frac{AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A}{(t+u)^2}
\]
就有
\[
tu(t+u)\frac{AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A}{(t+u)^2}+(t+u)d^2=uAB^2+tAC^2
\]
整理得
\[
u^2AB^2+t^2AC^2+2tu\cdot AB\cdot AC\cos A=(t+u)^2d^2
\]
利用平均值不等式得
\[
u^2AB^2+t^2AC^2\geq 2tu\cdot AB\cdot AC
\]
即
\[
2tu(1+\cos A)\cdot AB\cdot AC\leq (t+u)^2d^2
\]
即
\[
面积=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\leq\frac{(t+u)^2\sin A}{4tu(1+\cos A)}d^2=\frac{(t+u)^2}{4tu}d^2\tan\frac{A}{2}
\]
以上不等式当且仅当 $uAB=tAC$ 时取得等号。这个就是最一般的结论。
nyy 发表于 2024-5-9 16:11
如上图标示的变量。
用拉格朗日乘子法解决问题
60°约束条件1`b^2-b c+c^2-9 x^2=0\tag{1}`
余弦值相加等于零约数条件2`-2 b^2-c^2+6 x^2+12=0\tag{2}`
从中消去`x`得`4b^2+2bc+c^2=36\tag{3}→bc≤6`
目标函数`S=\D\frac{\sqrt{3}}{4}bc≤\frac32\sqrt{3}\tag{4}` 杀鸡焉用牛刀？ 如图，`S_{△ABC}=\frac12S_{△ABE}`, A在红色圆弧上滑动，处于弧顶时`S_{△ABE}`最大。
原題有出處嗎？作者有給出解答嗎？ ejsoon 发表于 2024-5-10 13:21
原題有出處嗎？作者有給出解答嗎？
来自抖音。没有答案 hujunhua 发表于 2024-5-10 11:29
如图，`S_{△ABC}=\frac12S_{△ABE}`, A在红色圆弧上滑动，处于弧顶时`S_{△ABE}`最大。
...
没看懂：A滑动时AD怎么保证等于2？
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