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[转载] 在△ABC中,∠BAC=60°,点D是BC边上一点,且BD=2CD,AD=2,求△ABC面积的最大值

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发表于 2024-5-9 15:44:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 nyy 于 2024-5-9 15:46 编辑

如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D是BC边上一点,且BD=2CD,AD=2,求△ABC面积的最大值

QQ截图20240509154625.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2024-5-9 16:11:31 | 显示全部楼层
如上图标示的变量。
用拉格朗日乘子法解决问题
  1. Clear["Global`*"];
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
  6. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  7. cond1=Numerator@Together[cs[b,c,3*x]-Cos[60deg]](*△ABC中,对∠BAC使用余弦定理*)
  8. cond2=Numerator@Together[cs[2*x,2,c]+cs[x,2,b]](*两个角的余弦值相加等于零*)
  9. f=heron[b,c,3*x]^2+x1*cond1+x2*cond2//Simplify (*建立面积目标函数*)
  10. ans=Solve[
  11.     D[f,{{b,c,x,x1,x2}}]==0 (*求偏导数,偏导数等于零*)
  12.     &&b>0&&c>0&&x>0(*限制变量范围*)
  13. ,{b,c,x,x1,x2}]//FullSimplify//ToRadicals
  14. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
  15. aaa=Sqrt[f/.ans]//Simplify(*求出对应的面积值*)
  16. (*直接调用mathematica函数求解*)
  17. Maximize[{heron[b,c,3*x],cond1==0&&cond2==0&&b>=0&&c>=0&&x>=0},{b,c,x}]
复制代码


60°约束条件1
\[b^2-b c+c^2-9 x^2=0\]
余弦值相加等于零约数条件2
\[-2 b^2-c^2+6 x^2+12=0\]
目标函数
\[f=\text{x1} \left(b^2-b c+c^2-9 x^2\right)-\text{x2} \left(2 b^2+c^2-6 \left(x^2+2\right)\right)-\frac{1}{16} (b-c+3 x) (b+c+3 x) (b-c-3 x) (b+c-3 x)\]
求解方程组,得到
\[\begin{array}{lllll}
b\to -3 & c\to 0 & x\to -1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to -3 & c\to 0 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to -3 & c\to 6 & x\to -\sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to -3 & c\to 6 & x\to \sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to 0 & c\to -6 & x\to -2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 0 & c\to -6 & x\to 2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 0 & c\to 6 & x\to -2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 0 & c\to 6 & x\to 2 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 3 & c\to -6 & x\to -\sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to 3 & c\to -6 & x\to \sqrt{7} & \text{x1}\to \frac{9}{2} & \text{x2}\to \frac{81}{8} \\
b\to 3 & c\to 0 & x\to -1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to 3 & c\to 0 & x\to 1 & \text{x1}\to 0 & \text{x2}\to 0 \\
b\to -\sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to -1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to -\sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to 1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to -1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
b\to 2 (-1)^{11/12} \sqrt[4]{3} & c\to -2 \sqrt[4]{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1+i \sqrt{3}\right) \\
b\to \sqrt{6-2 i \sqrt{3}} & c\to 2 \sqrt[4]{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1+i \sqrt{3}\right) \\
b\to -2 \sqrt[12]{-1} \sqrt[4]{3} & c\to 2 i \sqrt[4]{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1-i \sqrt{3}\right) \\
b\to 2 \sqrt[12]{-1} \sqrt[4]{3} & c\to -2 i \sqrt[4]{-3} & x\to 0 & \text{x1}\to \frac{3}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & \text{x2}\to \frac{3}{4} \left(1-i \sqrt{3}\right) \\
\end{array}\]
由于bcx三个变量大于零,过滤后,得到
\[\begin{array}{lllll}
b\to \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 1 & \text{x1}\to \frac{3}{2} & \text{x2}\to \frac{9}{8} \\
\end{array}\]
求得对应的面积
\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right\}\]
直接调用mathematica函数,得到
\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\left\{b\to \sqrt{3},c\to 2 \sqrt{3},x\to 1\right\}\right\}\]












点评

nyy
mathematica太牛逼了,20组解的方程组照样干!  发表于 2024-5-9 16:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-5-9 16:38:50 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-9 16:11
如上图标示的变量。
用拉格朗日乘子法解决问题

由上面的约束条件,假设x已知,求解b c变量,得到
\[\left\{\left\{b\to -\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}},c\to \frac{\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}} \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{x^2-4}\right\},\left\{b\to \sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}},c\to -\frac{\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}} \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{x^2-4}\right\},\left\{b\to -\sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6},c\to \frac{\left(x^2-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right) \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6}}{x^2-4}\right\},\left\{b\to \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6},c\to \frac{\sqrt{\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+6} \left(-x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}-2\right)}{x^2-4}\right\}\right\}\]

用x=1.1,代入上面的结果,得到第二组解才是合适的。

得到
\[\left\{b\to \sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}},c\to -\frac{\sqrt{6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}} \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{x^2-4}\right\}\]

0.5*sin(60°)*b*c,因此可以得到面积表达式(化简后)
\[-\frac{\sqrt{3} \left(6-\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}\right) \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}+2\right)}{4 \left(x^2-4\right)}\]

画出函数图如下

求出导数,并且化简
\[-\frac{3 x \left(x^2+\sqrt{3} \sqrt{-x^4+8 x^2-4}-4\right)}{2 \sqrt{-x^4+8 x^2-4}}\]

导数等于零,得到
\[\{\{x\to -1\},\{x\to 0\},\{x\to 1\}\}\]

求得对应的bc值
\[\left\{\left\{b\to \sqrt{3},c\to 2 \sqrt{3}\right\},\left\{b\to \sqrt{6-2 i \sqrt{3}},c\to \frac{1}{4} \sqrt{6-2 i \sqrt{3}} \left(2+2 i \sqrt{3}\right)\right\},\left\{b\to \sqrt{3},c\to 2 \sqrt{3}\right\}\right\}\]

求得面积值
\[\left\{\frac{3 \sqrt{3}}{2},\frac{3}{2} \left(\sqrt{3}+i\right),\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right\}\]

所有代码如下
  1. Clear["Global`*"];
  2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
  3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
  4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
  5. cond1=Numerator@Together[cs[b,c,3*x]-Cos[60deg]](*△ABC中,对∠BAC使用余弦定理*)
  6. cond2=Numerator@Together[cs[2*x,2,c]+cs[x,2,b]](*两个角的余弦值相加等于零*)
  7. aa=Solve[{cond1,cond2}==0,{b,c}]//Simplify
  8. bb=aa/.{x->1.1}(*根据x=1.1找出哪组解是合适的,根据结果,只有第二组解合适*)
  9. f=(b*c*Sin[60deg]/2)/.aa[[2]](*代入面积表达式*)
  10. Plot[f,{x,0,5}](*画出函数图*)
  11. fx=D[f,x]//Simplify(*求导数*)
  12. cc=Solve[fx==0,{x}](*得到零点*)
  13. dd=aa[[2]]/.cc//Simplify(*得到b与c的值*)
  14. ee=f/.cc//Simplify(*求出对应的面积表达式的值*)
复制代码

QQ截图20240509163303.png

点评

nyy
这个办法还是太复杂了!  发表于 2024-5-9 16:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-5-9 17:04:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2024-5-9 17:06 编辑

如果 $\angle BAC$ 记为 $A$,$AD=d$,$BD:CD=t:u$,设 $BD=tx$,$CD=ux$,根据余弦定理
\[
\cos\angle ADB=\frac{d^2+t^2x^2-AB^2}{2dtx},\cos\angle ADC=\frac{d^2+u^2x^2-AC^2}{2dux}
\]
因为 $\cos\angle ADB+\cos\angle ADC=0$,得
\[
\frac{d^2+t^2x^2-AB^2}{2dtx}+\frac{d^2+u^2x^2-AC^2}{2dux}=0
\]

\[
tu(t+u)x^2+(t+u)d^2=uAB^2+tAC^2
\]
再用余弦定理得
\[
AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=(t+u)^2x^2
\]

\[
x^2=\frac{AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A}{(t+u)^2}
\]
就有
\[
tu(t+u)\frac{AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A}{(t+u)^2}+(t+u)d^2=uAB^2+tAC^2
\]
整理得
\[
u^2AB^2+t^2AC^2+2tu\cdot AB\cdot AC\cos A=(t+u)^2d^2
\]
利用平均值不等式得
\[
u^2AB^2+t^2AC^2\geq 2tu\cdot AB\cdot AC
\]

\[
2tu(1+\cos A)\cdot AB\cdot AC\leq (t+u)^2d^2
\]

\[
面积=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\leq\frac{(t+u)^2\sin A}{4tu(1+\cos A)}d^2=\frac{(t+u)^2}{4tu}d^2\tan\frac{A}{2}
\]
以上不等式当且仅当 $uAB=tAC$ 时取得等号。这个就是最一般的结论。

点评

nyy
AD是角平分线的时候,取最大值,是这个意思吗?  发表于 2024-5-9 17:52
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发表于 2024-5-9 18:14:56 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-5-9 16:11
如上图标示的变量。
用拉格朗日乘子法解决问题

60°约束条件1`b^2-b c+c^2-9 x^2=0\tag{1}`
余弦值相加等于零约数条件2`-2 b^2-c^2+6 x^2+12=0\tag{2}`
从中消去`x`得`4b^2+2bc+c^2=36\tag{3}→bc≤6`
目标函数`S=\D\frac{\sqrt{3}}{4}bc≤\frac32\sqrt{3}\tag{4}`

点评

nyy
延长CA至E,使得AE=2AC,直接得到(3) ,具体过程!  发表于 2024-5-10 09:27
nyy
你还需要验算极值能否被取到!  发表于 2024-5-9 23:33
延长CA至E,使得AE=2AC,直接得到(3)  发表于 2024-5-9 18:21
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-5-9 18:15:37 | 显示全部楼层
杀鸡焉用牛刀?

点评

nyy
牛杀多了,不会杀鸡了!  发表于 2024-5-10 09:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-5-10 11:29:04 | 显示全部楼层
如图,`S_{△ABC}=\frac12S_{△ABE}`, A在红色圆弧上滑动,处于弧顶时`S_{△ABE}`最大。
图解1.png

点评

定角定边外接圆,确实高级  发表于 2024-5-10 19:31
nyy
你这个解法太巧妙了,以致于我都不得不佩服,一下子就看透彻看明白了!  发表于 2024-5-10 11:59
nyy
你是对的,要是图片能顺时针旋转90°,那就更容易让人明白了!  发表于 2024-5-10 11:55

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-5-10 13:21:27 | 显示全部楼层
原題有出處嗎?作者有給出解答嗎?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-5-10 18:52:59 | 显示全部楼层
ejsoon 发表于 2024-5-10 13:21
原題有出處嗎?作者有給出解答嗎?

来自抖音。没有答案
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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