【初中】线段最小值
在三角形ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，且BD=2CD，S△ABC=27/4，求AD的最小值 BC=3k*sin(60),其中: CD=k*sin(60), BD=2k*sin(60),∠ABC=a, AC=3k*sin(a),Minimize[{(k*Sin)^2 + (3 k*Sin)^2 + 2*(k*Sin)*(3 k*Sin)*Cos, (3 k*Sin)*(3 k*Sin)*Sin == 27/2, Pi > a > 0, k > 0}, {a, k}]
{6 Sqrt, {a -> Pi/6, k -> Sqrt 3^(1/4)}} 参考下帖 7#：
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19413-1-1.html Clear["Global`*"];
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
cond1=(1/2*b*c*Sin-27/4) (*面积等于27/4*)
cond2=Numerator@Together-Cos] (*余弦定理*)
cond3=Numerator@Together+cs] (*两个角余弦和等于零*)
f=d+x1*cond1+x2*cond2+x3*cond3 (*拉格朗日乘子法，建立目标函数*)
fx=D
ans=Solve[
fx==0 (*各个偏导数等于零*)
&&d>=0&&b>=0&&c>=0&&x>=0 (*限制变量范围*)
,{d,b,c,x,x1,x2,x3},Reals]//Simplify(*解方程组,只要实数解*)
假设AD=d，AB=c,AC=b,BD=2x,CD=x,
求解结果
\[\left\{\left\{d\to \sqrt{2} 3^{3/4},b\to \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}},c\to 3 \sqrt{2} \sqrt{3},x\to \frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}},\text{x1}\to -\frac{2 \sqrt{2}}{9 \sqrt{3}},\text{x2}\to -\frac{1}{9 \sqrt{2} 3^{3/4}},\text{x3}\to -\frac{1}{6 \sqrt{2} 3^{3/4}}\right\}\right\}\]
上面第一个变量d，就是AD的最小值
重复2楼。BC=3k*sin(60),其中: CD=k*sin(60), BD=2k*sin(60),∠ABC=a, AC=3k*sin(a),
Minimize[{(k*Sin)^2 + (3 k*Sin)^2 + 2*(k*Sin)*(3 k*Sin)*Cos, (3 k*Sin)*(3 k*Sin)*Sin == 27/2, Pi > a > 0, k > 0}, {a, k}]
{6 Sqrt, {a -> Pi/6, k -> Sqrt 3^(1/4)}}由右边可得k^2,代入左边。
Minimize[{((Sin)^2 + (3Sin)^2 + 2*Sin*3Sin*Cos)/(3Sin*3Sin*Sin)*27/2, Pi/2 > a > 0}, {a}]
{6 Sqrt, {a -> Pi/6}}
Solve[{x==((Sin)^2+(3Sin)^2)/(SinSin)*3/2},{x}]
{{x -> 6 Sqrt}}
页:
[1]