【初中】线段最小值

王广喜

在三角形ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，且BD=2CD，S△ABC=27/4，求AD的最小值

王守恩

BC=3k*sin(60),  其中: CD=k*sin(60), BD=2k*sin(60),  ∠ABC=a, AC=3k*sin(a),

1. Minimize[{(k*Sin[Pi/3])^2 + (3 k*Sin[a])^2 + 2*(k*Sin[Pi/3])*(3 k*Sin[a])*Cos[Pi/3 + a], (3 k*Sin[Pi/3])*(3 k*Sin[a])*Sin[Pi/3 + a] == 27/2, Pi > a > 0, k > 0}, {a, k}]

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{6 Sqrt[3], {a -> Pi/6, k -> Sqrt[2] 3^(1/4)}}

Jack315

参考下帖 7#：
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19413-1-1.html

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. cond1=(1/2*b*c*Sin[60deg]-27/4) (*面积等于27/4*)
   
6. cond2=Numerator@Together[cs[b,c,3*x]-Cos[60deg]] (*余弦定理*)
   
7. cond3=Numerator@Together[cs[d,2*x,c]+cs[d,x,b]] (*两个角余弦和等于零*)
   
8. f=d+x1*cond1+x2*cond2+x3*cond3 (*拉格朗日乘子法，建立目标函数*)
   
9. fx=D[f,{{d,b,c,x,x1,x2,x3}}]
   
10. ans=Solve[
    
11.     fx==0 (*各个偏导数等于零*)
    
12.     &&d>=0&&b>=0&&c>=0&&x>=0 (*限制变量范围*)
    
13. ,{d,b,c,x,x1,x2,x3},Reals]//Simplify(*解方程组,只要实数解*)
    

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假设AD=d，AB=c,AC=b,BD=2x,CD=x,

求解结果
\[\left\{\left\{d\to \sqrt{2} 3^{3/4},b\to \frac{3 \sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}},c\to 3 \sqrt{2} \sqrt[4]{3},x\to \frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}},\text{x1}\to -\frac{2 \sqrt{2}}{9 \sqrt[4]{3}},\text{x2}\to -\frac{1}{9 \sqrt{2} 3^{3/4}},\text{x3}\to -\frac{1}{6 \sqrt{2} 3^{3/4}}\right\}\right\}\]

上面第一个变量d，就是AD的最小值

王守恩

重复2楼。BC=3k*sin(60),  其中: CD=k*sin(60), BD=2k*sin(60),  ∠ABC=a, AC=3k*sin(a),

1. Minimize[{(k*Sin[Pi/3])^2 + (3 k*Sin[a])^2 + 2*(k*Sin[Pi/3])*(3 k*Sin[a])*Cos[Pi/3 + a], (3 k*Sin[Pi/3])*(3 k*Sin[a])*Sin[Pi/3 + a] == 27/2, Pi > a > 0, k > 0}, {a, k}]

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{6 Sqrt[3], {a -> Pi/6, k -> Sqrt[2] 3^(1/4)}}  由右边可得k^2,  代入左边。

1. Minimize[{((Sin[Pi/3])^2 + (3Sin[a])^2 + 2*Sin[Pi/3]*3Sin[a]*Cos[Pi/3 + a])/(3Sin[Pi/3]*3Sin[a]*Sin[Pi/3 + a])*27/2, Pi/2 > a > 0}, {a}]

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{6 Sqrt[3], {a -> Pi/6}}   

1. Solve[{x==((Sin[Pi/3])^2+(3Sin[Pi/6])^2)/(Sin[Pi/3]Sin[Pi/6])*3/2},{x}]

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{{x -> 6 Sqrt[3]}}