再迭代一次……
p6 = Collect, p5], \]
由于多项式项数的增加，参变量 \(\mu\) 的最高幂次也达到了 63 。
作图时，数值精度也采用了 100 位。
若要再进一步，恐怕软件也无能为力了。
作图代码：
Plot[{p0, p1, p2, p3, p4, p5, p6},
{\, 0, 2},
WorkingPrecision -> 100,
PlotLegends -> "Expressions",
PlotLabel -> "暗线",
GridLines -> Automatic,
Frame -> True]
\(1.4\le\mu\le 2.0\) 部分的放大图：
\(1.8\le\mu\le 2.0\) 部分的放大图：
设$f(c,x)=x(c-x)$, 当存在二分叉的时候,就是 $f(c,x_1)=x_2,f(c,x_2)=x_1$, 算得 $x_{1,2} = \frac{1}{2} (c+1+-\sqrt{(c-3) (c+1)})$, 于是 $c>3$
二分叉的代码
data=Block[{c=34/10},NestWhileList[#(c-#)&,RandomReal[]*c,Abs[#1-#3]>10^-20&,3,10000]]
四分叉的代码
data=Block[{c=35/10},NestWhileList[#(c-#)&,RandomReal[]*c,Abs[#1-#5]>10^-20&,5,10000]]
对$f(c,x_1)=x_2,f(c,x_2)=x_3,f(c,x_3)=x,f(c,x)=x_1$消元,得到$1+c^2-c x-c^2 x-c^3 x-c^4 x+2 c x^2+c^2 x^2+4 c^3 x^2+c^4 x^2+2 c^5 x^2-x^3-5 c^2 x^3-4 c^3 x^3-5 c^4 x^3-4 c^5 x^3-c^6 x^3+2 c x^4+6 c^2 x^4+4 c^3 x^4+14 c^4 x^4+5 c^5 x^4+3 c^6 x^4-4 c x^5-c^2 x^5-18 c^3 x^5-12 c^4 x^5-12 c^5 x^5-3 c^6 x^5+x^6+10 c^2 x^6+17 c^3 x^6+18 c^4 x^6+15 c^5 x^6+c^6 x^6-2 c x^7-14 c^2 x^7-12 c^3 x^7-30 c^4 x^7-6 c^5 x^7+6 c x^8+3 c^2 x^8+30 c^3 x^8+15 c^4 x^8-x^9-15 c^2 x^9-20 c^3 x^9+3 c x^10+15 c^2 x^10-6 c x^11+x^12$, 再令导数未=为0,消元得到$3375+1980 c^2-412 c^3-1073 c^4-8 c^5+84 c^6+376 c^7-191 c^8-40 c^9+48 c^10-12 c^11+c^12=0$, 存在一根$\sqrt{6}+1 = 3.4494897427831780982$
Plot&/@Range,{c,3,4}]
同理,三叉点的情况
f:=x(c-x);GroebnerBasis[{f==x2,f==x,f==x1},{},{x1,x2}]//Factor
设$f(c,x)=x(c-x)$, 当存在三分叉的时候,就是 $f(c,x_1)=x_2,f(c,x_2)=x_3,f(c,x_3)=x_1$, 算得 $x_{1,2,3}$是方程$1-x-c^3 (-1+x)^2 x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6+c^2 (-1+x) (-1+x-2 x^2+3 x^3)-c (-1+x) (1-x+2 x^2-x^3+3 x^4)=0$的三个实根.
联立导数为0,消元得到 $-49-28 c-18 c^2+24 c^3+4 c^4-6 c^5+c^6 = 0$,存在一根$c_1= 1+2\sqrt{2}= 3.8284271247461900976$
参考链接: https://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
Plot&/@Range,{c,3.5,4}]
写了个代码,直接计算$n$分叉点的位置
n=5;orig=FactorList-x]][];
exp=Factor]]==0,Dt]/Dt];
Solve==0,orig[[-1]]==0},{},{x}]==0&&c>3,c]
本帖最后由 Jack315 于 2024-7-13 22:51 编辑
【分岔点计算】
计算方法参考：https://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
[*]求周期 n 的迭代方程。
[*]求迭代方程的判别式：随着参数值的增加，迭代方程的一对根从复根变成相等的实根，从而出现分岔。
[*]求判别式的根即得到分岔处的参数值。
映射函数：\(f(r,x)=x(r-x)\)
f := x (r - x)
分岔图：
https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/202405/24/101329fpp9bpsa2mias5mx.png
参数值范围更大的分岔图：
【周期 1 轨道】
迭代方程：
f1 :=
Nest - t &, t, 1] /. t -> x // Expand // Simplify判别式：
d1 = Factor, x]]判别式根：
Solve
周期 1 轨道从 \(r_1=1\) 处开始。
【周期 2】
迭代方程：
f2 := (Nest &, t, 2] - t)/(f - t) /. t -> x // Expand // Simplify判别式：
d2 = Factor, x]]判别式根：
Solve
周期 2 分岔点参数：\(r_2=3\) 。
【周期 3】
迭代方程：
f3 := (Nest &, t, 3] - t)/(f - t) /. t -> x // Expand // Simplify判别式：
d2 = Factor, x]]判别式根：
Solve
周期 3 分岔点参数：\(r_3=1+2\sqrt{2}=3.828427125\) 。
【周期 4】
迭代方程：
f4 := (Nest &, t, 4] - t)/(Nest &, t, 2] - t) /. t -> x // Expand // Simplify判别式：
d4 = Factor, x]]判别式根：
Solve
周期 4 分岔点参数：\(r_4=1+\sqrt{6}=3.449489743, 3.960101883\) 。
【周期 5】
迭代方程：
f5 := (Nest &, t, 5] - t)/(Nest &, t, 1] - t) /. t -> x // Expand // Simplify判别式：
d5 = Factor, x]]判别式根：
Solve
周期 5 分岔点参数：\(r_5=3.738172375, 3.905571870, 3.990257307\) 。