此题数据不好
为啥是正方形时取极值？ 王广喜 发表于 2024-6-9 10:29
此题数据不好
4#,5#都是对的。你的图没画好,答案有问题。我做的是1#的题。
Minimize[{Sqrt[(Sqrt - Tan)^2 + (1 - Sqrt Tan)^2], 1 > a > 0}, {a}]
EF=2 Sqrt - 2 Sqrt]]=1.231555279251288225360534995321591360215482175621973848145526988049959265524817799288760666939077945 王广喜 发表于 2024-6-9 11:12
改改数据会舒服一点儿
10#题。5#想法没变:BE=BF时取得最小值。
Minimize[{Sqrt[(9/8 - Tan)^2 + (1 - 9/8 Tan)^2], 1 > a > 0}, {a}]
EF=5 Sqrt/8 =0.88388347648318440550105545263106129910604492211059254573542483624420\77990388168992814922089547759830 王广喜 发表于 2024-6-9 10:29
此题数据不好
不等式能这么递推吗？ aimisiyou 发表于 2024-6-9 08:18
你猜的？
当然不是猜的。
首先是用坐标法算过。设AB=1, BC=√3=a，如图1把EF平移到BG，转化为求BG的最小长度。
设BE=t, 则FD=a(1-t)/(1+t), G=F-E=(a-t, 1-a(1-t)/(1+t)), 观察到G-(1+a, 1+a)=-(t+1, 2a/(1+t)), 显然G的轨迹是一条等轴双曲线，渐近线是x=1+a, y=1+a。
所以BG的最小位置在x=y斜线上，这时EC=CF。
我比较喜欢综合方法，研究发现该题有些背景。
一、如图2，O在正方形ABCD的对角线AC上，那么∠EGF=∠EHF=∠IGJ=∠IHJ=45°。这就是题目中45°的背景。
如果固定G，H，让圆心在AC上滑动，E，F为动点，那么线束G-E与G-F全等（旋转45°即重合），导致点列E与点列F射影对应，所以线簇EF切于一条二次曲线。
二、有一个普遍成立的命题：张于x轴（正向）和y轴（正向）间的的一段光滑凸曲线的切线被坐标轴所截的线段，当切点平分切线段时最短。
由图2可见EF的包络曲线是x,y对称的，所以这时切线段的中点在斜线x=y上。
研究发现这条包络曲线是切于两坐标轴的一个椭圆，焦点就是G，H。 如图，圆心在正方形的对角线x=y上滑动，C, D为定点，E，F从动，光线从C射到镜面EF上反射到D，试证明光程CH+HD恒长。
hujunhua 发表于 2024-6-9 16:50
当然不是猜的。
首先是用坐标法算过。设AB=1, BC=√3=a，如图1把EF平移到BG，转化为求BG的最小长度。
设B ...
平移求G点轨迹是个好办法。原来是双曲线。 好题目得揪住不放, 收获才大。
\(1\#, CE=CF=x,EF=\sqrt{2}x\)
\(x^2+x^2=(1+(\sqrt{3}-x)^2)+(3+(1-x)^2)-2\sqrt{1+(\sqrt{3}-x)^2\ \ }\sqrt{3+(1-x)^2\ \ }\cos(\pi/4)\)
\(10\#, BE=BF=x,EF=\sqrt{2}x\)
\(x^2+x^2=(1+(9/8-x)^2)+((9/8)^2+(1-x)^2)-2\sqrt{1+(9/8-x)^2\ \ }\sqrt{(9/8)^2+(1-x)^2\ \ }\cos(\pi/4)\)
在这里,\(a,b(1,\sqrt{3},\ \ 9,8)\)可以改, \(\theta(\pi/4)\)可以改, 算法不变。
特别地, 当 \(\theta=\pi/4,\ \ x=a+b-\sqrt{2ab\ }\)
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