几何最值

aimisiyou

王广喜 发表于 2024-6-9 10:29
此题数据不好

为啥是正方形时取极值？

王守恩

王广喜 发表于 2024-6-9 10:29
此题数据不好

4#,5#都是对的。你的图没画好,答案有问题。我做的是1#的题。

1. Minimize[{Sqrt[(Sqrt[3] - Tan[a])^2 + (1 - Sqrt[3] Tan[Pi/4 - a])^2], 1 > a > 0}, {a}]

复制代码

EF=2 Sqrt[2 + 2 Sqrt[3] - 2 Sqrt[3 + 2 Sqrt[3]]]=1.231555279251288225360534995321591360215482175621973848145526988049959265524817799288760666939077945

王守恩

王广喜 发表于 2024-6-9 11:12
改改数据会舒服一点儿

10#题。5#想法没变:  BE=BF时取得最小值。

1. Minimize[{Sqrt[(9/8 - Tan[a])^2 + (1 - 9/8 Tan[Pi/4 - a])^2], 1 > a > 0}, {a}]

复制代码

EF=5 Sqrt[2]/8 =0.88388347648318440550105545263106129910604492211059254573542483624420\77990388168992814922089547759830

aimisiyou

王广喜 发表于 2024-6-9 10:29
此题数据不好

不等式能这么递推吗？

hujunhua

aimisiyou 发表于 2024-6-9 08:18
你猜的？

当然不是猜的。
首先是用坐标法算过。设AB=1, BC=√3=a，如图1把EF平移到BG，转化为求BG的最小长度。
设BE=t, 则FD=a(1-t)/(1+t), G=F-E=(a-t, 1-a(1-t)/(1+t)), 观察到G-(1+a, 1+a)=-(t+1, 2a/(1+t)), 显然G的轨迹是一条等轴双曲线，渐近线是x=1+a, y=1+a。
所以BG的最小位置在x=y斜线上，这时EC=CF。


我比较喜欢综合方法，研究发现该题有些背景。

一、如图2，O在正方形ABCD的对角线AC上，那么∠EGF=∠EHF=∠IGJ=∠IHJ=45°。这就是题目中45°的背景。

如果固定G，H，让圆心在AC上滑动，E，F为动点，那么线束G-E与G-F全等（旋转45°即重合），导致点列E与点列F射影对应，所以线簇EF切于一条二次曲线。
二、有一个普遍成立的命题：张于x轴（正向）和y轴（正向）间的的一段光滑凸曲线的切线被坐标轴所截的线段，当切点平分切线段时最短。

由图2可见EF的包络曲线是x,y对称的，所以这时切线段的中点在斜线x=y上。

研究发现这条包络曲线是切于两坐标轴的一个椭圆，焦点就是G，H。

hujunhua

如图，圆心在正方形的对角线x=y上滑动，C, D为定点，E，F从动，光线从C射到镜面EF上反射到D，试证明光程CH+HD恒长。

aimisiyou

hujunhua 发表于 2024-6-9 16:50
当然不是猜的。
首先是用坐标法算过。设AB=1, BC=√3=a，如图1把EF平移到BG，转化为求BG的最小长度。
设B ...

平移求G点轨迹是个好办法。原来是双曲线。

王守恩

好题目得揪住不放, 收获才大。

\(1\#, CE=CF=x,  EF=\sqrt{2}x\)

\(x^2+x^2=(1+(\sqrt{3}-x)^2)+(3+(1-x)^2)-2\sqrt{1+(\sqrt{3}-x)^2\ \ }\sqrt{3+(1-x)^2\ \ }\cos(\pi/4)\)

\(10\#, BE=BF=x,  EF=\sqrt{2}x\)

\(x^2+x^2=(1+(9/8-x)^2)+((9/8)^2+(1-x)^2)-2\sqrt{1+(9/8-x)^2\ \ }\sqrt{(9/8)^2+(1-x)^2\ \ }\cos(\pi/4)\)

在这里,  \(a,b(1,\sqrt{3},\ \ 9,8)\)可以改,   \(\theta(\pi/4)\)可以改,   算法不变。

特别地, 当 \(\theta=\pi/4,\ \ x=a+b-\sqrt{2ab\ }\)