一道初三考试的数论题
请大家帮忙分析：第1问感觉出错了，可以证明2024不满足P(1)
第2问很简单
第3问不知道如何做？请大家帮忙 1 2024不满足p(1)。
2 $(x_m^2+y_m^2)(x_n^2+y_n^2)=(x_mx_n+y_my_n)^2+(x_my_n-x_ny_m)^2$
3 $k=\pm2$ 第3题理解错了 麻烦如果知道第3问如何解答，帮忙写一下详细过程，谢谢。 本帖最后由 Jack315 于 2024-6-11 22:46 编辑
将 \(z=x^2+kxy+y^2\) 改写成：
\
求出 \(x\)：
\
【1】 k=1,z=2024 代入 (2) 式得 \(x=\frac{-y\pm\sqrt{-3y^2+4\times2024}}{2}\)
由于 4x2024 没有 3 的因子，x 不可能为整数，因而 2024 不满足 P(1) 。
【2】 见 2#
【3】 设 k 为奇数，由 (2) 式知此时 y 必需为偶数。
由 x, y 在 (1) 式中的对称地位可同样得出 x 必需为偶数。
根据 (1) 式知 z 必须是偶数。命题不成立。
设 k 为偶数 \(k=2m\), 则 (2) 式成为：
\
...
(3) 式根号内的表达式必须为平方数。
即命题变成：存在 m，对任意整数 z，能找到一个 y，使得根号内的表达式为某个平方数。
可以证明各变量的奇偶性不存在矛盾，但直觉这个命题可能同样不成立。
没找到证明的思路。 第三问应该是无穷递降
初三玩这个有点超纲了
https://bbs.emath.ac.cn/thread-16112-1-1.html
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