一道初三考试的数论题

convolution

请大家帮忙分析：

aa

第1问感觉出错了，可以证明2024不满足P(1)
第2问很简单
第3问不知道如何做？请大家帮忙

northwolves

1 2024不满足p(1)。
2 $(x_m^2+y_m^2)(x_n^2+y_n^2)=(x_mx_n+y_my_n)^2+(x_my_n-x_ny_m)^2$
3 $k=\pm2$

northwolves

第3题理解错了

convolution

麻烦如果知道第3问如何解答，帮忙写一下详细过程，谢谢。

Jack315

将 \(z=x^2+kxy+y^2\) 改写成：
\[x^2+kxy+y^2-z=0\tag{1}\]
求出 \(x\)：
\[x=\frac{-ky\pm\sqrt{(k^2-4)y^2+4z}}{2}\tag{2}\]

【1】 k=1,z=2024 代入 (2) 式得 \(x=\frac{-y\pm\sqrt{-3y^2+4\times2024}}{2}\)
由于 4x2024 没有 3 的因子，x 不可能为整数，因而 2024 不满足 P(1) 。

【2】 见 2#

【3】 设 k 为奇数，由 (2) 式知此时 y 必需为偶数。
由 x, y 在 (1) 式中的对称地位可同样得出 x 必需为偶数。
根据 (1) 式知 z 必须是偶数。命题不成立。

设 k 为偶数 \(k=2m\), 则 (2) 式成为：
\[x=-my\pm\sqrt{(m^2-1)y^2+z}\tag{3}\]
...
(3) 式根号内的表达式必须为平方数。
即命题变成：存在 m，对任意整数 z，能找到一个 y，使得根号内的表达式为某个平方数。
可以证明各变量的奇偶性不存在矛盾，但直觉这个命题可能同样不成立。
没找到证明的思路。

.·.·.

第三问应该是无穷递降
初三玩这个有点超纲了

https://bbs.emath.ac.cn/thread-16112-1-1.html