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[求助] 一道初三考试的数论题

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发表于 5 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式

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请大家帮忙分析:

aa

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第1问感觉出错了,可以证明2024不满足P(1)
第2问很简单
第3问不知道如何做?请大家帮忙
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
1 2024不满足p(1)。
2 $(x_m^2+y_m^2)(x_n^2+y_n^2)=(x_mx_n+y_my_n)^2+(x_my_n-x_ny_m)^2$
3 $k=\pm2$

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nyy
第二问就是复数  发表于 5 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
第3题理解错了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
麻烦如果知道第3问如何解答,帮忙写一下详细过程,谢谢。

点评

试试反证法,如令z=2  发表于 5 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 Jack315 于 2024-6-11 22:46 编辑

将 \(z=x^2+kxy+y^2\) 改写成:
\[x^2+kxy+y^2-z=0\tag{1}\]
求出 \(x\):
\[x=\frac{-ky\pm\sqrt{(k^2-4)y^2+4z}}{2}\tag{2}\]

【1】 k=1,z=2024 代入 (2) 式得 \(x=\frac{-y\pm\sqrt{-3y^2+4\times2024}}{2}\)
由于 4x2024 没有 3 的因子,x 不可能为整数,因而 2024 不满足 P(1) 。

【2】 见 2#

【3】 设 k 为奇数,由 (2) 式知此时 y 必需为偶数。
由 x, y 在 (1) 式中的对称地位可同样得出 x 必需为偶数。
根据 (1) 式知 z 必须是偶数。命题不成立。

设 k 为偶数 \(k=2m\), 则 (2) 式成为:
\[x=-my\pm\sqrt{(m^2-1)y^2+z}\tag{3}\]
...
(3) 式根号内的表达式必须为平方数。
即命题变成:存在 m,对任意整数 z,能找到一个 y,使得根号内的表达式为某个平方数。
可以证明各变量的奇偶性不存在矛盾,但直觉这个命题可能同样不成立。
没找到证明的思路。

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数论小白,就是来学习的。无穷递降这次学到了,帖子自然活不成了,haha...  发表于 前天 00:54
第一问应该用模3余2说明这玩意不是完全平方数(按你的论述,7-3*1^2是完全平方数),以及第三问……感觉自从我说无穷递降法之后,帖子死了……  发表于 3 天前
穷举来看看,学习一下。只要结果正确,啥方法都行。  发表于 4 天前
nyy
第一问明显是穷举法呀  发表于 4 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
第三问应该是无穷递降
初三玩这个有点超纲了

https://bbs.emath.ac.cn/thread-16112-1-1.html

点评

这个竞赛比的是视野,不是思路。无穷递降是高中竞赛的内容。看过就是简单,没看过就是不知道。有印象的话,运气好秒出,运气不好就像我一样,知道降但死活想不起来降哪儿。。一个建议是,别管这个不正规的竞赛了,趁   发表于 4 天前
是了,第三问z=-1直接得到k=±3,之后随便找个反例即可  发表于 4 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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