有关四面体的一个构造问题
已知四面体的各棱长为a、b、c、d、e、f，问a2、b2、c2、d2、e2、f2为棱长是否可以同样构成四面体 本帖最后由 霜晨 于 2024-10-5 12:59 编辑先说答案：不一定。
我对这个问题也很好奇。
既然是已经记6个边，那就不妨从边的角度研究。如果从角研究过于复杂，毕竟角在本质上也是边的关系。
一、首先，要想形成四面体，至少要满足变换后一定还可以是三角形。
比如三角形（a，b，c），必须满足三角不等式。
所以，若原四面体内存在钝角三角形，那么变换后必不可能构成四面体。
（若C为钝角，那么\(a^2+b^2＜c^2 \),显然不满足变换后成为三角形）
二、同时，满足Cayley–Menger 行列式大于0.
有一个边与多面体体积的公式，叫Cayley–Menger 行列式：
https://picture.gptkong.com/20241005/122409a22dc63049618981544d68066ca9.jpg
论文传送门：
https://ems.press/content/serial-article-files/45383
这个行列式可以告诉我们n维单形的边与体积的关系。
不妨令n=3，设a对边为d，b对边为e，c对边为f，那么
\(2^3(3!)^2V^2\)==\begin{vmatrix} 0&1&1&1&1 \\1&0&d^2&e^2& c^2\\1&d^2&0&f^2& b^2\\ 1 &e^2&f^2&0& a^2\\ 1 &c^2&b^2&a^2&0\end{vmatrix}＞0
若行列式小于0，则四面体不存在。 霜晨 发表于 2024-10-5 12:50
先说答案：不一定。
我对这个问题也很好奇。
既然是已经记6个边，那就不妨从边的角度研究。如果从角研究过 ...
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19587-1-1.html，帮我看看这个，差不多的问题
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