有关四面体的一个构造问题

lihpb00

已知四面体的各棱长为a、b、c、d、e、f，问a²、b²、c²、d²、e²、f²为棱长是否可以同样构成四面体

霜晨

先说答案：不一定。
我对这个问题也很好奇。
既然是已经记6个边，那就不妨从边的角度研究。如果从角研究过于复杂，毕竟角在本质上也是边的关系。
一、首先，要想形成四面体，至少要满足变换后一定还可以是三角形。
比如三角形（a，b，c），必须满足三角不等式。
所以，若原四面体内存在钝角三角形，那么变换后必不可能构成四面体。
（若C为钝角，那么\(a^2+b^2＜c^2 \)  ,显然不满足变换后成为三角形）
二、同时，满足Cayley–Menger 行列式大于0.
有一个边与多面体体积的公式，叫Cayley–Menger 行列式：

论文传送门：
https://ems.press/content/serial-article-files/45383
这个行列式可以告诉我们n维单形的边与体积的关系。
不妨令n=3，设a对边为d，b对边为e，c对边为f，那么
\(2^3(3!)^2V^2\)==\begin{vmatrix} 0&  1&  1&  1&1 \\  1&  0&  d^2&  e^2& c^2\\  1&  d^2&  0&  f^2& b^2\\ 1 &  e^2&  f^2&  0& a^2\\ 1 &  c^2&  b^2&  a^2&0\end{vmatrix}＞0
若行列式小于0，则四面体不存在。

lihpb00

霜晨 发表于 2024-10-5 12:50
先说答案：不一定。
我对这个问题也很好奇。
既然是已经记6个边，那就不妨从边的角度研究。如果从角研究过 ...

https://bbs.emath.ac.cn/thread-19587-1-1.html，帮我看看这个，差不多的问题