hujunhua 发表于 2024-8-9 18:37
应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
...
已知n边形一内角为2P度, 周长为n, 求n边形面积最大值S。应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
所以，是半个正方形与半个正(n-2)边形合成的图形。
没错！如果是：已知圆内接n边形一内角为2P度,周长为n,求n边形面积最大值S。就得这样去做。
S=N[((n - 2) Sin^2 Sin + Sin) n^2/( 2 (2 (n - 2) Sin Sin + 2)^2)]
没问题。已知n边形一内角为90度, 周长为n, 求n边形面积最大值S。
已知三边形一内角为90度,周长为3,三边形面积最大值=0.386038969。
已知四边形一内角为90度,周长为4,四边形面积最大值=1.000000000。
已知五边形一内角为90度,周长为5,五边形面积最大值=1.701738567。
已知六边形一内角为90度,周长为6,六边形面积最大值=2.536906888。
已知七边形一内角为90度,周长为7,七边形面积最大值=3.514780784。
已知八边形一内角为90度,周长为8,八边形面积最大值=4.638479869。
已知九边形一内角为90度,周长为9,九边形面积最大值=5.909348892。
......
0.386038969, 1.000000000, 1.701738567, 2.536906888, 3.514780784, 4.638479869, 5.909348892, 7.328062981, 8.894998347, 10.61038125, 12.47435594, 14.48701873, 16.64843639}
Table) + 2 (R*Cos/Sin) == n, (n - 1) a == Pi - Pi/4, ((n - 2) R^2 Sin +2 R (R*Cos/Sin) Cos)/2 == S}, {a, R, S}], {n, 3, 9}]
注：其余边对应圆心角=2a。半径=R。其余边=2R*Sin。直角边=R*Cos/Sin。
n边形面积最大值四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43, 46, 50, 54, 58, 63, 67, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 102, 107, 113, 119, 125, 131, 138, 144, 151, 158,
164, 172, 179, 186, 194, 201, 209, 217, 225, 233, 242, 250, 259, 268, 277, 286, 296, 305, 315, 324, 334, 344, 355, 365, 375, 386, 397, 408, 419, 430, 442, 453, 465, 477,
489, 501, 513, 525, 538, 551, 564, 577, 590, 603, 617, 630, 644, 658, 672, 686, 701, 715, 730, 745, 760, 775, 790, 806, 821, 837, 853, 869, 885, 901, 918, 934, 951, ......}
特别地,6楼: 9楼。
3/4 + 1/Pi=1.068309886183791
hujunhua 发表于 2024-8-9 18:37
应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
...
没错！已知圆内接n边形一内角为90度,周长为n,求n边形面积最大值S。
已知圆内接三边形一内角为90度,周长为3,三边形面积最大值=0.386038969。
已知圆内接四边形一内角为90度,周长为4,四边形面积最大值=1.000000000。
已知圆内接五边形一内角为90度,周长为5,五边形面积最大值=1.691934074。
已知圆内接六边形一内角为90度,周长为6,六边形面积最大值=2.505319636。
已知圆内接七边形一内角为90度,周长为7,七边形面积最大值=3.454308149。
已知圆内接八边形一内角为90度,周长为8,八边形面积最大值=4.543468029。
已知圆内接九边形一内角为90度,周长为9,九边形面积最大值=5.774658579。
......
{0.386038969, 1.000000000, 1.691934074, 2.505319636, 3.454308149, 4.543468029, 5.774658579, 7.148767411, 8.666268794, 10.32743815, 12.13244597, 14.08140330, 16.17438545, 18.41144528, 20.79262099}
Table) + 2 (2R*Cos) == n, (n - 2) a == Pi/2, ((n - 2) R^2 Sin + 2 R^2)/2 == S}, {a, R, S}], 8], {n, 3, 9}]
注：其余边对应圆心角=2a。半径=R。其余边=2R*Sin。直角边=2R*Cos。
n边形面积最大值四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 21, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 74, 79, 83, 88, 93, 99, 104, 110, 115, 121, 127, 133, 140, 146, 153,
159, 166, 173, 180, 188, 195, 203, 210, 218, 226, 234, 243, 251, 260, 268, 277, 286, 295, 305, 314, 324, 333, 343, 353, 364, 374, 384, 395, 406, 417, 428, 439, 450, 462,
473, 485, 497, 509, 521, 533, 546, 559, 571, 584, 597, 610, 624, 637, 651, 665, 679, 693, 707, 721, 736, 750, 765, 780, 795, 810, 826, 841, 857, 873, 889, 905, 921, ......}
Table))/(8 (Sqrt + (n - 2) Sin)^2)], {n, 3, 113}]
特别地,6楼: 7楼。
Limit[(2 Cot (Sqrt + n Sin)^2)/(n (2 + (n) Sin)), n -> Infinity]
(2 Sqrt + Pi)^2/(2 Pi (2 + Pi))=1.103250175277072831
终极版。已知n边形一内角为90度, 周长为n, 求n边形面积最大值S。
已知三边形一内角为90度,周长为3,三边形面积最大值=0.386038969。
已知四边形一内角为90度,周长为4,四边形面积最大值=1.000000000。
已知五边形一内角为90度,周长为5,五边形面积最大值=1.701738567。
已知六边形一内角为90度,周长为6,六边形面积最大值=2.536906888。
已知七边形一内角为90度,周长为7,七边形面积最大值=3.514780784。
已知八边形一内角为90度,周长为8,八边形面积最大值=4.638479869。
已知九边形一内角为90度,周长为9,九边形面积最大值=5.909348892。
......
0.386038969, 1.000000000, 1.701738567, 2.536906888, 3.514780784, 4.638479869, 5.909348892, 7.328062981, 8.894998347, 10.61038125, 12.47435594, 14.48701873, 16.64843639, 18.95865665, 21.41771456}
Table[(n + 1)^2 Cos/((4n - 4) Sin + Sqrt Cos[(n - 3) Pi/(4 n)]), {n, 2, 16}]
n边形面积最大值四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43, 46, 50, 54, 58, 63, 67, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 102, 107, 113, 119, 125, 131, 138, 144, 151, 158,
164, 172, 179, 186, 194, 201, 209, 217, 225, 233, 242, 250, 259, 268, 277, 286, 296, 305, 315, 324, 334, 344, 355, 365, 375, 386, 397, 408, 419, 430, 442, 453, 465, 477,
489, 501, 513, 525, 538, 551, 564, 577, 590, 603, 617, 630, 644, 658, 672, 686, 701, 715, 730, 745, 760, 775, 790, 806, 821, 837, 853, 869, 885, 901, 918, 934, 951, ......}
特别地,6楼: 9楼。 3/4 + 1/Pi=1.068309886183791
已知n边形一内角为90度(90度边有2条), 周长为n, 求n边形面积最大值。
最大值所在图形是个漂亮图形。漂亮图形!!！虽然我画不了,但可以量化一下。
1, n边形一内角=90度, 其余内角度数(都是相等的)=\(\frac{(n-2)180-90}{n-1}\)
\(2,\frac{90度边}{其余边}=\frac{\cos[(n-4)\pi/(4 n - 4)]}{\sqrt{2}\sin}=\frac{1 + \cot}{2}\)
一个n边形,只要确定1(角度),2(边长),这个n边形就是唯一的。