给定一个内角的等周多边形问题

王守恩

hujunhua 发表于 2024-8-9 18:37
应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
...

已知n边形一内角为2P度, 周长为n, 求n边形面积最大值S。应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
所以，是半个正方形与半个正(n-2)边形合成的图形。

没错！如果是：已知圆内接n边形一内角为2P度,  周长为n,  求n边形面积最大值S。就得这样去做。

1. S=N[((n - 2) Sin[P]^2 Sin[Pi/(n - 2)] + Sin[2 P]) n^2/( 2 (2 (n - 2) Sin[P] Sin[Pi/(2 (n - 2))] + 2)^2)]

复制代码

王守恩

没问题。已知n边形一内角为90度, 周长为n, 求n边形面积最大值S。
已知三边形一内角为90度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.386038969。
已知四边形一内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
已知五边形一内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.701738567。
已知六边形一内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.536906888。
已知七边形一内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.514780784。
已知八边形一内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.638479869。
已知九边形一内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.909348892。
......
0.386038969, 1.000000000, 1.701738567, 2.536906888, 3.514780784, 4.638479869, 5.909348892, 7.328062981, 8.894998347, 10.61038125, 12.47435594, 14.48701873, 16.64843639}

1. Table[NSolve[{(n - 2) (2R*Sin[a]) + 2 (R*Cos[Pi/4 - a]/Sin[Pi/4]) == n, (n - 1) a == Pi - Pi/4, ((n - 2) R^2 Sin[2 a] +  2 R (R*Cos[Pi/4 - a]/Sin[Pi/4]) Cos[a])/2 == S}, {a, R, S}], {n, 3, 9}]

复制代码

注：其余边对应圆心角=2a。半径=R。其余边=2R*Sin[a]。直角边=R*Cos[Pi/4 - a]/Sin[Pi/4]。
n边形面积最大值四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43, 46, 50, 54, 58, 63, 67, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 102, 107, 113, 119, 125, 131, 138, 144, 151, 158,
164, 172, 179, 186, 194, 201, 209, 217, 225, 233, 242, 250, 259, 268, 277, 286, 296, 305, 315, 324, 334, 344, 355, 365, 375, 386, 397, 408, 419, 430, 442, 453, 465, 477,
489, 501, 513, 525, 538, 551, 564, 577, 590, 603, 617, 630, 644, 658, 672, 686, 701, 715, 730, 745, 760, 775, 790, 806, 821, 837, 853, 869, 885, 901, 918, 934, 951, ......}

特别地,  6楼: 9楼。
3/4 + 1/Pi=1.068309886183791

王守恩

hujunhua 发表于 2024-8-9 18:37
应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
...

没错！已知圆内接n边形一内角为90度,  周长为n,  求n边形面积最大值S。
已知圆内接三边形一内角为90度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.386038969。
已知圆内接四边形一内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
已知圆内接五边形一内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.691934074。
已知圆内接六边形一内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.505319636。
已知圆内接七边形一内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.454308149。
已知圆内接八边形一内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.543468029。
已知圆内接九边形一内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.774658579。
......
{0.386038969, 1.000000000, 1.691934074, 2.505319636, 3.454308149, 4.543468029, 5.774658579, 7.148767411, 8.666268794, 10.32743815, 12.13244597, 14.08140330, 16.17438545, 18.41144528, 20.79262099}

1. Table[NSolve[{(n - 2) (2R*Sin[a]) + 2 (2R*Cos[Pi/4]) == n, (n - 2) a == Pi/2, ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 R^2)/2 == S}, {a, R, S}], 8], {n, 3, 9}]

复制代码

注：其余边对应圆心角=2a。半径=R。其余边=2R*Sin[a]。直角边=2R*Cos[Pi/4]。
n边形面积最大值四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 21, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 74, 79, 83, 88, 93, 99, 104, 110, 115, 121, 127, 133, 140, 146, 153,
159, 166, 173, 180, 188, 195, 203, 210, 218, 226, 234, 243, 251, 260, 268, 277, 286, 295, 305, 314, 324, 333, 343, 353, 364, 374, 384, 395, 406, 417, 428, 439, 450, 462,
473, 485, 497, 509, 521, 533, 546, 559, 571, 584, 597, 610, 624, 637, 651, 665, 679, 693, 707, 721, 736, 750, 765, 780, 795, 810, 826, 841, 857, 873, 889, 905, 921, ......}

1. Table[Round[(n^2 (2 + (n - 2) Sin[Pi/(n - 2)]))/(8 (Sqrt[2] + (n - 2) Sin[Pi/(2 n - 4)])^2)], {n, 3, 113}]

复制代码

特别地,  6楼: 7楼。

1. Limit[(2 Cot[Pi/n] (Sqrt[2] + n Sin[Pi/(2 n)])^2)/(n (2 + (n) Sin[Pi/(n)])), n -> Infinity]

复制代码

(2 Sqrt[2] + Pi)^2/(2 Pi (2 + Pi))=1.103250175277072831

王守恩

终极版。已知n边形一内角为90度, 周长为n, 求n边形面积最大值S。
已知三边形一内角为90度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.386038969。
已知四边形一内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
已知五边形一内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.701738567。
已知六边形一内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.536906888。
已知七边形一内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.514780784。
已知八边形一内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.638479869。
已知九边形一内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.909348892。
......
0.386038969, 1.000000000, 1.701738567, 2.536906888, 3.514780784, 4.638479869, 5.909348892, 7.328062981, 8.894998347, 10.61038125, 12.47435594, 14.48701873, 16.64843639, 18.95865665, 21.41771456}

1. Table[(n + 1)^2 Cos[3 Pi/(4 n)]/((4n - 4) Sin[3 Pi/(4 n)] + Sqrt[32] Cos[(n - 3) Pi/(4 n)]), {n, 2, 16}]

复制代码

n边形面积最大值四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43, 46, 50, 54, 58, 63, 67, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 102, 107, 113, 119, 125, 131, 138, 144, 151, 158,
164, 172, 179, 186, 194, 201, 209, 217, 225, 233, 242, 250, 259, 268, 277, 286, 296, 305, 315, 324, 334, 344, 355, 365, 375, 386, 397, 408, 419, 430, 442, 453, 465, 477,
489, 501, 513, 525, 538, 551, 564, 577, 590, 603, 617, 630, 644, 658, 672, 686, 701, 715, 730, 745, 760, 775, 790, 806, 821, 837, 853, 869, 885, 901, 918, 934, 951, ......}

特别地,  6楼: 9楼。 3/4 + 1/Pi=1.068309886183791

王守恩

已知n边形一内角为90度(90度边有2条), 周长为n, 求n边形面积最大值。

最大值所在图形是个漂亮图形。漂亮图形!!！虽然我画不了,  但可以量化一下。

1, n边形一内角=90度, 其余内角度数(都是相等的)=\(\frac{(n-2)180-90}{n-1}\)

\(2,\frac{90度边}{其余边}=\frac{\cos[(n-4)\pi/(4 n - 4)]}{\sqrt{2}\sin[3\pi/(4 n - 4)]}=\frac{1 + \cot[3\pi/(4 n - 4)]}{2}\)

一个n边形,  只要确定1(角度),  2(边长),  这个n边形就是唯一的。