给定一个内角的等周多边形问题

王守恩

已知 n 边形一内角为90度,  周长为 n,  求它的最大面积。

王守恩

这是根据10楼细化出来的。

1. Table[NSolve[{ (n - 2) a + b == Pi,   (n - 2) x + 2 y == n,   Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - Pi/2)/(2 (n - 1)),
   
2. x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   y/ Sin[b] == R /Sin[Pi/4],   ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[Pi/4 + b])/2 == S,  R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0, R > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n,5, 9}]

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n=5, {a -> 0.589049, b -> 1.37445,  x -> 0.909652,  y -> 1.13552,  R -> 0.818665,  S -> 1.70174},
n=6, {a -> 0.471239, b -> 1.25664,  x -> 0.861746,  y -> 1.27651,  R -> 0.949079,  S -> 2.53691},
n=7, {a -> 0.392699, b -> 1.1781,    x -> 0.831926,  y -> 1.42019,  R -> 1.08696,   S -> 3.51478},
n=8, {a -> 0.336599, b -> 1.122,     x -> 0.811537,  y -> 1.56539,  R -> 1.22856,   S -> 4.63848},
n=9, {a -> 0.294524, b -> 1.07992, x -> 0.796703,  y -> 1.71154,  R -> 1.37228,   S -> 5.90935},
{{a -> (3 \[Pi])/16,
   b -> (7 \[Pi])/16,
   x -> (5 Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])]))/(-3 Sqrt[2] + 2/Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]),
   y -> 5/(8 + 3 Sqrt[2] - 3 Sqrt[2 - Sqrt[2]] - 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]),
   R -> (5 Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(-3 Sqrt[2] + 2/Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]),
   S -> (25 (-2 + 2/Sqrt[2 + Sqrt[2]])^2 (2 + 2/Sqrt[2 - Sqrt[2]] + 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]))/( 2 (6 Sqrt[2/(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]])] + 4/(Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])]))^2)}},
{{a -> (3 \[Pi])/20,
   b -> (2 \[Pi])/5,
   x -> 6/(4 + (-1 + Sqrt[5]) Sqrt[5 + Sqrt[5]] (-((1 - Sqrt[5])/(4 Sqrt[2])) + Sqrt[5 + Sqrt[5]]/4)),
   y -> 1/(1/3 + 2/( 3 Sqrt[5 - Sqrt[ 5]] (-((1 - Sqrt[5])/(4 Sqrt[2])) + Sqrt[5 + Sqrt[5]]/4))),
   R -> (3 (-1 + Sqrt[5]))/(Sqrt[5 - Sqrt[5]] +  2/(-((1 - Sqrt[5])/(4 Sqrt[2])) + Sqrt[5 + Sqrt[5]]/4)),
   S -> 9/122 (157 - 60 Sqrt[5] + 5 Sqrt[1745 - 778 Sqrt[5]])}},
{{a -> \[Pi]/8,
   b -> (3 \[Pi])/8,
   x -> 7/(7 + Sqrt[2]),
   y -> 7/94 (12 + 5 Sqrt[2]),
   R -> (14 Sqrt[2 - Sqrt[2]])/(4 + 20/(2 + Sqrt[2])),
   S -> 49/188 (5 + 6 Sqrt[2])}},
{{a -> (3 \[Pi])/28,
   b -> (5 \[Pi])/14,
   x -> 8/(6 + ((-1)^(13/28) Sqrt[2] (1 + (-1)^(2/7)))/(-1 + (-1)^(3/14))),
   y -> 4/(1 - (3 (-1)^(15/28) Sqrt[2] (-1 + (-1)^(3/14)))/( 1 + (-1)^(2/7))),
   R -> -((16 (-1)^(3/7) Sqrt[2] (-1 + (-1)^(1/7)))/((12 (-1)^(1/4) Sqrt[2])/((1 + (-1)^(3/14)) (1 + (-1)^(2/7))) + (4 (-1)^(5/7))/(-1 + (-1)^(3/7)))),
   S -> (4 (1 - ((-1)^(27/28) (1 + (-1)^(1/14)))/Sqrt[2] - 3 (-1)^(2/7) (-1 + (-1)^(3/7))))/(-((3 (-1)^(11/28) (-1 + (-1)^(3/14)))/Sqrt[2]) - 1/2 (-1)^(6/7) (1 + (-1)^(2/7)))^2}},
{{a -> (3 \[Pi])/32,
   b -> (11 \[Pi])/32,
   x -> 9/(7 + (Sqrt[2] (Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] -  Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))
      /(Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])])),
   y -> 9/(2 + (7 Sqrt[2] (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))/(Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +
      Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] - Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])])),
   R -> (36 Sqrt[2 - Sqrt[2]] (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))
      /( 8/(Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])]) + (28 Sqrt[2])/((Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]
      - Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]) (-Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))),
   S -> (81 (1 + Sqrt[1/2 (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]])] + 7/2 (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])])))/(4 (Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2])(2 + Sqrt[2
     + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] - Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] + (7 (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))/Sqrt[2])^2)}}}

数学星空

根据21# mathe 的分析有：

\(\frac{S}{L^2}=\frac{\frac{\sin^2((n-2)t)\sin(2s)}{2\sin^2(s)}+\frac{(n-2)\sin(2t)}2-\frac{\sin(2(n-2)t)}2}{(2(n-2)\sin(t)  + 2\frac{\sin((n-2)t)}{\sin(s)})^2}\)   （1）

求导得到：
\(\cos(t)\sin(s)^2\sin(2t)n - \sin(t)\sin(s)^2\cos(2t)n + \sin(t)\sin(s)^2\cos(2(n - 2)t)n - \sin(t)\sin((n - 2)t)\cos((n - 2)t)\sin(2s)n - 2\cos(t)\sin(s)^2\sin(2t) - \cos(t)\sin(s)^2\sin(2(n - 2)t) + \cos(t)\sin((n - 2)t)^2\sin(2s) + 2\sin(t)\sin(s)^2\cos(2t) - 2\sin(t)\sin(s)^2\cos(2(n - 2)t) + 2\sin(t)\sin((n - 2)t)\cos((n - 2)t)\sin(2s) + \sin(s)\cos((n - 2)t)\sin(2t)n - \sin(s)\sin((n - 2)t)\cos(2t) + \sin(s)\sin((n - 2)t)\cos(2(n - 2)t) - 2\sin(s)\cos((n - 2)t)\sin(2t) - \sin(s)\cos((n - 2)t)\sin(2(n - 2)t)=0\)     （2）

取\(s=\frac{\pi k}{20}, t=\frac{\pi}{2}-\frac{(n-2)\pi-2s}{2(n-1)},k=1..19\)  代入（1）原函数及极值点（均满足 mathe的三个结论）

n=5时图像



n=9时图像



n=19时图像



n=59时图像



取\(t=\frac{\pi}{2}-\frac{(n-2)\pi-2s}{2(n-1)},s=\frac{\pi}{4},n=3..53\)代入（2）原函数的导函数均为0 （注意：为了区分每个n值的图像，将其依次向上平移了200）



--------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------

我认为本题的最大面积时的构形应该是如下图形：

n-2条边相等且等角共圆，另两条边构成圆的两条切线



仿mathe的结论：

则\(a=2R \sin(t), 2d\sin(s)=2R\sin((n-2)t), (n-2)a+2d=L\)

约束条件\(2(n-2)\sin(t) R + 2R\frac{\sin((n-2)t)}{\sin(s)}=L\)

面积\(S=\frac{d^2 \sin(2s)}2+(n-2)\frac{R^2}2\sin(2t)+\frac{R^2}2\sin(2(n-2)t)=\frac{R^2\sin^2((n-2)t)\sin(2s)}{2\sin^2(s)}+(n-2)\frac{R^2}2\sin(2t)+\frac{R^2}2\sin(2(n-2)t)\)

我们得出\(\frac{S}{L^2}=\frac{\frac{\sin^2((n-2)t)\sin(2s)}{2\sin^2(s)}+\frac{(n-2)\sin(2t)}2+\frac{\sin(2(n-2)t)}2}{(2(n-2)\sin(t)  + 2\frac{\sin((n-2)t)}{\sin(s)})^2}\),

且\(t=\frac{\frac{\pi}{2}-s}{n-2}\)

即\(\frac{S}{L^2}=\frac{(n-2)\sin(s)^2\sin(\frac{\pi-2s}{n-2})+\sin(2s)}{8((n-2)\sin(s)\sin(\frac{\pi-2s}{2n-4})+\cos(s))^2}\),

王守恩

hujunhua 发表于 2024-8-9 18:37
应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
...

没错！已知圆内接n边形一内角为90度,  周长为n,  求n边形面积最大值S。
已知圆内接三边形一内角为90度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.386038969。
已知圆内接四边形一内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
已知圆内接五边形一内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.691934074。
已知圆内接六边形一内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.505319636。
已知圆内接七边形一内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.454308149。
已知圆内接八边形一内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.543468029。
已知圆内接九边形一内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.774658579。
......
{0.386038969, 1.000000000, 1.691934074, 2.505319636, 3.454308149, 4.543468029, 5.774658579, 7.148767411, 8.666268794, 10.32743815, 12.13244597, 14.08140330, 16.17438545, 18.41144528, 20.79262099}

1. Table[NSolve[{(n - 2) (2R*Sin[a]) + 2 (2R*Cos[Pi/4]) == n, (n - 2) a == Pi/2, ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 R^2)/2 == S}, {a, R, S}], 8], {n, 3, 9}]

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注：其余边对应圆心角=2a。半径=R。其余边=2R*Sin[a]。直角边=2R*Cos[Pi/4]。
n边形面积最大值四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 21, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 74, 79, 83, 88, 93, 99, 104, 110, 115, 121, 127, 133, 140, 146, 153,
159, 166, 173, 180, 188, 195, 203, 210, 218, 226, 234, 243, 251, 260, 268, 277, 286, 295, 305, 314, 324, 333, 343, 353, 364, 374, 384, 395, 406, 417, 428, 439, 450, 462,
473, 485, 497, 509, 521, 533, 546, 559, 571, 584, 597, 610, 624, 637, 651, 665, 679, 693, 707, 721, 736, 750, 765, 780, 795, 810, 826, 841, 857, 873, 889, 905, 921, ......}

1. Table[Round[(n^2 (2 + (n - 2) Sin[Pi/(n - 2)]))/(8 (Sqrt[2] + (n - 2) Sin[Pi/(2 n - 4)])^2)], {n, 3, 113}]

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特别地,  6楼: 7楼。

1. Limit[(2 Cot[Pi/n] (Sqrt[2] + n Sin[Pi/(2 n)])^2)/(n (2 + (n) Sin[Pi/(n)])), n -> Infinity]

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(2 Sqrt[2] + Pi)^2/(2 Pi (2 + Pi))=1.103250175277072831

lihpb00

显然为等腰直角三角形时面积最大，设直角边长为a，则有
2a+√2a=3→a=3(2-√2)/2
所以最大面积即a^2/2=9(3/2-√2)

lihpb00

显然就是正方形，面积最大值为1

hujunhua

应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
所以，是半个正方形与半个正(n-2)边形合成的图形。
比如五边形应该下图这样的：


本来想用canvas画图的，结果在发现本版块的附加选项中，HTML代码选项是灰色的，勾不上。

aimisiyou

hujunhua 发表于 2024-8-9 18:37
应该是一个内接于圆的n边形。直角三角形占了圆的一半，斜边是圆的直径，另一半圆弧被剩下的n-3个点平分。
...

是猜想还是证明？

王守恩

单位边长正n边形的面积等于$n/(4*tan(π/n))$,
[0.433012702, 1.000000000, 1.720477400, 2.598076212, 3.633912443, 4.828427124, 6.181824193, 7.694208842, 9.365639904, 11.19615242],
四舍五入后得到A134030——2024年3月11日
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 32, 35, 38, 42, 46, 49, 54, 58, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 92, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 134, 140, 147, 154, 161, 168,
176, 183, 191, 199, 207, 215, 223, 232, 240, 249, 258, 267, 277, 286, 296, 306, 316, 326, 336, 346, 357, 368, 379, 390, 401, 412, 424, 436, 447, 459, 472, 484, 496, 509,
522, 535, 548, 561, 575, 588, 602, 616, 630, 644, 659, 673, 688, 703, 718, 733, 748, 764, 780, 796, 812, 828, 844, 860, 877, 894, 911, 928, 945, 963, 980, 998, 1016, ...}

1. Table[Round[Cot[Pi/n]*n/4], {n, 3, 112}]

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我们也可以仿此得到一个圆整序列提交上去。

mathe

容易看出除去直角三角形部分必须是等腰直角三角形，余下部分(n-2)条边必须相等而且内接一个圆，但是最优解直角不一定内接圆。

于是如图，必然有
\(\begin{cases}a=2R\sin(t)\\ \sqrt{2}d=2R|\sin((n-2)t)|\\(n-2)a+2d=n\end{cases}\)
而且显然要求\(0\lt 2(n-2)t \le 2\pi\)
所以我们可以得出
\(R=\frac{n}{2(n-2)\sin(t)+2\sqrt{2}\sin((n-2)t)}\)
而面积为
\(S=\frac{d^2}2+\frac{R^2}2((n-2)\sin(2t)-\sin(2(n-2)t))\)
比如n=7时，t的最优弧度应该略小于0.4, 最大面积大于3.5

不过面积表达式对于pari/gp有点太复杂，直接求导它算不出来，所以现在我还没有找到准确最值。
而对于n=10时，图会变成如下

可以看出对于n充分大时，应该取d=0,也就是使用正n-2边形.
比如n=6时我取了一个看上去比较靠近最值的配置，得到

(上图圆半径为0.949079053149547)

王守恩

谢谢 mathe！7楼错啦！！！我再试试(心里还是没底)。
已知三边形一内角为90度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.386038969。
已知四边形一内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
已知五边形一内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.701738567。
已知六边形一内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.536906888。
已知七边形一内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.514780784。
已知八边形一内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.638479869。
已知九边形一内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.909348892。
......
{0.386038969, 1.000000000, 1.701738567, 2.536906888, 3.514780784, 4.638479869, 5.909348892, 7.328062981, 8.894998347, 10.61038125, 12.47435594, 14.48701873, 16.64843639}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43, 46, 50, 54, 58, 63, 67, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 102, 107, 113, 119, 125, 131, 138, 144, 151, 158,
164, 172, 179, 186, 194, 201, 209, 217, 225, 233, 242, 250, 259, 268, 277, 286, 296, 305, 315, 324, 334, 344, 355, 365, 375, 386, 397, 408, 419, 430, 442, 453, 465, 477,
489, 501, 513, 525, 538, 551, 564, 577, 590, 603, 617, 630, 644, 658, 672, 686, 701, 715, 730, 745, 760, 775, 790, 806, 821, 837, 853, 869, 885, 901, 918, 934, 951, ......}

1. Table[(Sqrt[8]Sin[3(n-2)Pi/(4(n-1))]Sin[(2n-5)Pi/(4(n-1))]+(n-2)Sin[(2n-5)Pi/(2(n-1))])n^2/(8(Sqrt[2]Sin[3(n-2)Pi/(4(n-1))]+(n-2)Cos[(2n-5)Pi/(4(n-1))])^2),{n,5,113}]

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特别地,  6楼: 9楼。
3/4 + 1/Pi=1.068309886183791

王守恩

1. Table[NMaximize[{((Sqrt[8]Sin[b]Sin[Pi/4+b]+(n-2)Sin[2 a])R^2)/2,Sqrt[8]R Sin[b]+2(n-2) R Sin[a]==n,(n-2)a+b==Pi,R>0,Pi>a>0,Pi>b>0},{R,a,b}],{n,3,9}]

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n=3, {0.386039, {R -> 0.936776, a -> 0.725159,  b -> 2.41643}},
n=4, {1.000000, {R -> 0.707107, a -> 0.785398,  b -> 1.5708}},
n=5, {1.70174,  {R -> 0.81867,   a -> 0.589039,  b -> 1.37448}},
n=6, {2.53691,  {R -> 0.949083, a -> 0.471232,  b -> 1.25667}},
n=7, {3.51478,  {R -> 1.08696,  a -> 0.392699,  b -> 1.1781}},
n=8, {4.63848,  {R -> 1.22856, a -> 0.336599,  b -> 1.122}},
n=9, {5.90935,  {R -> 1.37228, a -> 0.294524, b -> 1.07992}}}

1. NMaximize[{(2 Sqrt[2] R Sin[b]*R*Sin[\[Pi]/4 + b] + 5*R^2 Sin[2 a])/2,2*Sqrt[2] R Sin[b] + 5*2 R Sin[a] == 7, 5 a + b == \[Pi], R > 0, \[Pi]/2 > a > 0, \[Pi]/2 > b > 0}, {R, a, b}]

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{3.51478, {R -> 1.08696, a -> 0.392698, b -> 1.1781}}

1. NMaximize[{(2 Sqrt[2] R Sin[b]*R*Sin[\[Pi]/4 + b] + 5*R^2 Sin[2 a])/2,2*Sqrt[2] R Sin[b] + 5*2 R Sin[a] == 9, 5 a + b == \[Pi], R > 0, \[Pi]/2 > a > 0, \[Pi]/2 > b > 0}, {R, a, b}]

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{5.81015, {R -> 1.39752, a -> 0.392702, b -> 1.17808}}