给定一个内角的等周多边形问题

王守恩

没问题。谢谢 mathe！这串数是您的(能往OEIS塞吗)。
已知三边形一内角为90度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.386038969。
已知四边形一内角为90度,  周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
已知五边形一内角为90度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.701738567。
已知六边形一内角为90度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.536906888。
已知七边形一内角为90度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.514780784。
已知八边形一内角为90度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.638479869。
已知九边形一内角为90度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.909348892。
......
0.386038969, 1.000000000, 1.701738567, 2.536906888, 3.514780784, 4.638479869, 5.909348892, 7.328062981, 8.894998347, 10.61038125, 12.47435594, 14.48701873, 16.64843639}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43, 46, 50, 54, 58, 63, 67, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 102, 107, 113, 119, 125, 131, 138, 144, 151, 158,
164, 172, 179, 186, 194, 201, 209, 217, 225, 233, 242, 250, 259, 268, 277, 286, 296, 305, 315, 324, 334, 344, 355, 365, 375, 386, 397, 408, 419, 430, 442, 453, 465, 477,
489, 501, 513, 525, 538, 551, 564, 577, 590, 603, 617, 630, 644, 658, 672, 686, 701, 715, 730, 745, 760, 775, 790, 806, 821, 837, 853, 869, 885, 901, 918, 934, 951, ......}

1. Table[Round[(Sqrt[8]Cos[(n-4)Pi/(4n-4)]Cos[3Pi/(4n-4)]+(n-2)Sin[3Pi/(2n-2)])n^2/(8(Sqrt[2]Cos[(n-4)Pi/(4n-4)]+(n-2)Sin[3Pi/(4n-4)])^2)],{n,5,113}]

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特别地,  6楼: 9楼。
3/4 + 1/Pi=1.068309886183791

mathe

9边形已经错了，这时直角部分越小越好，比如等腰直角三角形直角边长度为0.05时，面积为5.97...

而等腰直角三角形直角边长度为0.01时，面积达到6.00...

hujunhua

看到mathe的计算，显然4#的“合情猜想”草率了。其实我后来也知道不对，也曾想过`n→∞`时，`d→0`，感觉也不太对。

所以动了一下笔，答案应该是这样的：

在驻点，除了那个直角，其余(n-1)个角是相等的, 设为`2α`, 即$2α=(n-2-1/2)/(n-1) π=(2n-5)/(2n-2)π$

$2d=a(1+\tan α)$

代入`(n-2)a+2d=n`得   $a=n/(n-1+tan α), d=((1+tan α)n)/(2(n-1+tan α)) $

结果，`n→∞`时，$α→π/2, a→(3π)/(4+3π), d→(2n+3π)/(4+3π)→∞$.

所以五边形应该是下面这样的。

王守恩

mathe 发表于 2024-8-11 16:40
9边形已经错了，这时直角部分越小越好，比如等腰直角三角形直角边长度为0.05时，面积为5.97...

而等腰直角 ...

题目没出好：n边形=凸n边形？

hujunhua

13#的结果是基于凸多边形模型。
如果用凹多边形模型，发现直角边在n=5时就得为零。
比较凹凸模型的结果，选其大者。凹多边形模型的结果就是正(n-2)边形。
正如mathe的发现，n=9时就得用凹多边形模型，这时没有最大值，只能无限逼近。

7边形

8边形

9边形

7边形的结果很漂亮，圆里面是正8边形的7条边。

hujunhua

按凸模型，n→∞时，把图形收缩到有限大，两直角边外是一个3/4圆弧，与直角边相切，圆心角=3π/2.

n=6的图形（www.geogebra.org/geometry的最高精度15位小数），右边是前面mathe的近似结果，已经非常接近。

6边形

王守恩

这是根据10楼细化出来的。

1. Table[NSolve[{ (n - 2) a + b == Pi,   (n - 2) x + 2 y == n,   Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - Pi/2)/(2 (n - 1)),
   
2. x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   y/ Sin[b] == R /Sin[Pi/4],   ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[Pi/4 + b])/2 == S,  R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0, R > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n,5, 9}]

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n=5, {a -> 0.589049, b -> 1.37445,  x -> 0.909652,  y -> 1.13552,  R -> 0.818665,  S -> 1.70174},
n=6, {a -> 0.471239, b -> 1.25664,  x -> 0.861746,  y -> 1.27651,  R -> 0.949079,  S -> 2.53691},
n=7, {a -> 0.392699, b -> 1.1781,    x -> 0.831926,  y -> 1.42019,  R -> 1.08696,   S -> 3.51478},
n=8, {a -> 0.336599, b -> 1.122,     x -> 0.811537,  y -> 1.56539,  R -> 1.22856,   S -> 4.63848},
n=9, {a -> 0.294524, b -> 1.07992, x -> 0.796703,  y -> 1.71154,  R -> 1.37228,   S -> 5.90935},
{{a -> (3 \[Pi])/16,
   b -> (7 \[Pi])/16,
   x -> (5 Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])]))/(-3 Sqrt[2] + 2/Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]),
   y -> 5/(8 + 3 Sqrt[2] - 3 Sqrt[2 - Sqrt[2]] - 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]),
   R -> (5 Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]])/(-3 Sqrt[2] + 2/Sqrt[2 + Sqrt[2]] + 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]),
   S -> (25 (-2 + 2/Sqrt[2 + Sqrt[2]])^2 (2 + 2/Sqrt[2 - Sqrt[2]] + 3 Sqrt[2 + Sqrt[2]]))/( 2 (6 Sqrt[2/(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]])] + 4/(Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])]))^2)}},
{{a -> (3 \[Pi])/20,
   b -> (2 \[Pi])/5,
   x -> 6/(4 + (-1 + Sqrt[5]) Sqrt[5 + Sqrt[5]] (-((1 - Sqrt[5])/(4 Sqrt[2])) + Sqrt[5 + Sqrt[5]]/4)),
   y -> 1/(1/3 + 2/( 3 Sqrt[5 - Sqrt[ 5]] (-((1 - Sqrt[5])/(4 Sqrt[2])) + Sqrt[5 + Sqrt[5]]/4))),
   R -> (3 (-1 + Sqrt[5]))/(Sqrt[5 - Sqrt[5]] +  2/(-((1 - Sqrt[5])/(4 Sqrt[2])) + Sqrt[5 + Sqrt[5]]/4)),
   S -> 9/122 (157 - 60 Sqrt[5] + 5 Sqrt[1745 - 778 Sqrt[5]])}},
{{a -> \[Pi]/8,
   b -> (3 \[Pi])/8,
   x -> 7/(7 + Sqrt[2]),
   y -> 7/94 (12 + 5 Sqrt[2]),
   R -> (14 Sqrt[2 - Sqrt[2]])/(4 + 20/(2 + Sqrt[2])),
   S -> 49/188 (5 + 6 Sqrt[2])}},
{{a -> (3 \[Pi])/28,
   b -> (5 \[Pi])/14,
   x -> 8/(6 + ((-1)^(13/28) Sqrt[2] (1 + (-1)^(2/7)))/(-1 + (-1)^(3/14))),
   y -> 4/(1 - (3 (-1)^(15/28) Sqrt[2] (-1 + (-1)^(3/14)))/( 1 + (-1)^(2/7))),
   R -> -((16 (-1)^(3/7) Sqrt[2] (-1 + (-1)^(1/7)))/((12 (-1)^(1/4) Sqrt[2])/((1 + (-1)^(3/14)) (1 + (-1)^(2/7))) + (4 (-1)^(5/7))/(-1 + (-1)^(3/7)))),
   S -> (4 (1 - ((-1)^(27/28) (1 + (-1)^(1/14)))/Sqrt[2] - 3 (-1)^(2/7) (-1 + (-1)^(3/7))))/(-((3 (-1)^(11/28) (-1 + (-1)^(3/14)))/Sqrt[2]) - 1/2 (-1)^(6/7) (1 + (-1)^(2/7)))^2}},
{{a -> (3 \[Pi])/32,
   b -> (11 \[Pi])/32,
   x -> 9/(7 + (Sqrt[2] (Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] -  Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))
      /(Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])])),
   y -> 9/(2 + (7 Sqrt[2] (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))/(Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +
      Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] - Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])])),
   R -> (36 Sqrt[2 - Sqrt[2]] (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))
      /( 8/(Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])]) + (28 Sqrt[2])/((Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]
      - Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]) (-Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))),
   S -> (81 (1 + Sqrt[1/2 (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]])] + 7/2 (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2]) (2 - Sqrt[2 + Sqrt[2]])])))/(4 (Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] +  Sqrt[(2 + Sqrt[2])(2 + Sqrt[2
     + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] - Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 + Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])] + (7 (Sqrt[2 - Sqrt[2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]]] + Sqrt[(2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]) (2 - Sqrt[ 2 + Sqrt[2 + Sqrt[2]]])]))/Sqrt[2])^2)}}}

hujunhua

mathe 发表于 2024-8-10 17:06
容易看出除去直角三角形部分必须是等腰直角三角形，余下部分(n-2)条边必须相等而且内接一个圆，但是最优解 ...

按凸多边形模型，从 dS(t)=0 应该能导出(n-1)个角相等的结论。
但我没有尝试。
计算量可能不小，结果的转化也要根据结论来引导。
事先不知道结论，估计难以从得出的 驻点 t 表达式中进一步得到(n-1)个角相等的结果。
从一个繁复的代数表达式解读出惊艳的几何意义，真不是一件容易的事。

13#断言(n-1)个角相等是通过力学模型（杆子、铰接滑块、刚性绳子和张力膜组成）得到的，倒是不难，但本身不能直接作为数学证明。
要转化为数学证明，可能需要应用格林公式和E-L变分方程，具体怎么用，需要试一试。
但在楼主的帖子下发这些东西太超了，有点不合适。

mathe

设固定角度为2s(比如本题中s=π/4), n条边长度和为L,
由于\(a=2R \sin(t), 2d\sin(s)=2R\sin((n-2)t), (n-2)a+2d=L\)
我们得出约束条件\(2(n-2)\sin(t) R + 2R\frac{\sin((n-2)t)}{\sin(s)}=L\)
另外一方面面积\(S=\frac{d^2 \sin(2s)}2+(n-2)\frac{R^2}2\sin(2t)-\frac{R^2}2\sin(2(n-2)t)=\frac{R^2\sin^2((n-2)t)\sin(2s)}{2\sin^2(s)}+(n-2)\frac{R^2}2\sin(2t)-\frac{R^2}2\sin(2(n-2)t)\)
于是我们得出\(\frac{S}{L^2}=\frac{\frac{\sin^2((n-2)t)\sin(2s)}{2\sin^2(s)}+\frac{(n-2)\sin(2t)}2-\frac{\sin(2(n-2)t)}2}{(2(n-2)\sin(t)  + 2\frac{\sin((n-2)t)}{\sin(s)})^2}\), 我们只需要计算这个函数的最大值即可，它是关于t的单变量函数。

谁来计算一下这个单变量函数的导函数看看？

hujunhua

考虑这样一个问题：
求满足以下条件的凸 n+1 边形`e_0e_1...e_n`的最大面积：
1、`e_1+e_2+...+e_n=Constant`；
2、`e_1⊥e_n`。

比如 n=7时，假如答案就是下图这样的正八边形,

那么楼主的问题中，n=7的答案的圆内部分就必定是一个正八边形，即15#左图。
我们已经有了15#左图，设其直角边在圆外的长度为b.
对于最大面积的形状，我们可以把它的直角部分割去b×b直角三角形，剩下部分就成为本贴的问题。

对于一般的n, 假如这里的答案就是这个凸 n+1 边形内接于圆，并且`e_1=e_2=...=e_n`。
那么我们作出13#所述的(n-1)个角相等的图，假定它圆外的直角边长度为b(n).
对于最大面积的形状， 仿上把它的直角部分割去b(n)×b(n)直角三角形，剩下部分就成为本贴的问题。
这就证明了(n-1)个角相等。