求3次曲线y=x³-9/2 x+1的内接正方形的面积
<p>知乎上的一个趣题：<br>
已知一个正方形ABCD的四个顶点都在函数$f(x)=x^3-9/2 x+1$的图像上，则此正方形的面积为？四个点的坐标是？<br>
</p>
<body>
<svg width="255" height="405">
<!-- 定义箭头标记 -->
<defs>
<marker id="arrow" markerWidth="10" markerHeight="6" refX="3" refY="3" orient="auto">
<path d="M0,0 L10,3 L0,6 Z" fill="gray" />
</marker>
</defs>
<!-- 绘制 x 轴 -->
<line x1="0" y1="250" x2="240" y2="250" stroke="gray" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow)" />
<!-- 绘制 y 轴 -->
<line x1="125" y1="405" x2="125" y2="15" stroke="gray" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow)" />
<!-- 为第一个 path（用于定义箭头标记）添加 id -->
<path id="arrowPath" d="M0,200" stroke="red" stroke-width="2" fill="none"></path>
<!-- 为画三次曲线的 path 添加 id -->
<path id="curvePath" d="" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path>
</svg>
<script>
const svg = document.querySelector('svg');
const curvePath = svg.querySelector('#curvePath');
const numPoints = 200;
const unit = 50;
let pathData = '';
for (let x = -125; x < 125; x += 2.5) {
const y = 200- 0.0004 * x * x * x + 4.5 * x;
pathData += `${125 + x},${y} `;
}
curvePath.setAttribute('d', `M${pathData}`);
</script>
</body>
Clear["Global`*"];
y1=x1^3-9*x1/2+1
y2=x2^3-9*x2/2+1
y3=x3^3-9*x3/2+1
y4=x4^3-9*x4/2+1
ans=Solve[{
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2==
(x2-x3)^2+(y2-y3)^2==
(x3-x4)^2+(y3-y4)^2==
(x4-x1)^2+(y4-y1)^2==
((x1-x3)^2+(y1-y3)^2)/2==
((x2-x4)^2+(y2-y4)^2)/2
},{x1,x2,x3,x4},Reals]
方程组，目前弄不动 Clear["Global`*"];
ans=Solve[{
y1==x1^3-9*x1/2+1,(*点在曲线上*)
y2==x2^3-9*x2/2+1,(*点在曲线上*)
(*假设(0,1)是正方形的中心,那么两个顶点到中心的距离相等,且互相垂直,复数旋转90°,得到另外一个复数*)
ComplexExpand@ReIm[((x1-0)+(y1-1)*I)*I-((x2-0)+(y2-1)*I)]==0
},{x1,y1,x2,y2},Reals]//FullSimplify//ToRadicals
Grid(*列表显示*)
(*求解正方形面积*)
aaa=2*((x1-0)^2+(y1-1)^2)/.ans//FullSimplify//ToRadicals
方程组求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{x1}\to 0 & \text{y1}\to 1 & \text{x2}\to 0 & \text{y2}\to 1 \\
\text{x1}\to -\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y1}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}}+1 & \text{x2}\to -\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y2}\to 1-\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} \\
\text{x1}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y1}\to 1-\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{x2}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y2}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}}+1 \\
\text{x1}\to -\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y1}\to 1-\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{x2}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y2}\to 1-\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} \\
\text{x1}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y1}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}}+1 & \text{x2}\to -\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y2}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}}+1 \\
\text{x1}\to -\frac{1}{2} \sqrt{17-\sqrt{17}} & \text{y1}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\sqrt{17}+17}+2\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{17}+17} & \text{y2}\to 1-\frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} \\
\text{x1}\to \frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} & \text{y1}\to 1-\frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} & \text{x2}\to \frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} & \text{y2}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{17-\sqrt{17}}+2\right) \\
\text{x1}\to -\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{17}+17} & \text{y1}\to 1-\frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} & \text{x2}\to \frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} & \text{y2}\to 1-\frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} \\
\text{x1}\to \frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} & \text{y1}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{17-\sqrt{17}}+2\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{2} \sqrt{17-\sqrt{17}} & \text{y2}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\sqrt{17}+17}+2\right) \\
\end{array}\]
每一行对应的正方形面积
{0, 10, 10, 10, 10, 17, 17, 17, 17} nyy 发表于 2024-9-11 09:21
方程组求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{x1}\to 0 & \text{y1}\to 1 & \text{x2}\to 0 & \text{y2} ...
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
ans=Solve[{
y==x^3-9*x/2+1,(*点在曲线上*)
y==k*x+1
},{x,y}]//Simplify(*计算出对角线与三次曲线的交点*)
{{x1,y1},{x2,y2}}={x,y}/.ans[](*两个点赋值*)
aa=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2//FullSimplify(*用斜率来表达出对角线长度的平方*)
bb=Solve(*两条垂直的对角线的平方相等*)
cc=(aa/2)/.bb//FullSimplify(*对角线的乘积的一半=正方形面积*)
求解结果
\[\left\{\{x\to 0,y\to 1\},\left\{x\to -\sqrt{k+\frac{9}{2}},y\to 1-k \sqrt{k+\frac{9}{2}}\right\},\left\{x\to \sqrt{k+\frac{9}{2}},y\to k \sqrt{k+\frac{9}{2}}+1\right\}\right\}\]
对角线的平方
\
方程的根
\[\left\{\left\{k\to -\sqrt{5}-2\right\},\left\{k\to \sqrt{5}-2\right\},\left\{k\to \frac{1}{4} \left(-\sqrt{17}-1\right)\right\},\left\{k\to \frac{1}{4} \left(\sqrt{17}-1\right)\right\}\right\}\]
对应的面积
{10, 10, 17, 17} 2r^2/.Solve,{x0,y0}+r {Cos,Sin}],{a,2Pi/4*Range}]/.{Sin->s,Cos->c},c^2+s^2==1}],{c,s,x0,y0}]] 吓坏了！冒出那么多按钮！高人面前不敢造次。我只是虚心的想学一点(也是学不了)！
Solve, {0, 1} + r {Cos, Sin}], {a, Range Pi/2}]}], {t}]]
{{r -> 0}, {r -> -Sqrt}, {r -> Sqrt}, {r -> -Sqrt[(17/2)]}, {r -> Sqrt}}
就想把 x, y, t 拉出来！可就是拉不出来了。 points=Table[{x0,y0}+r {Cos,Sin},{a,2Pi/4*Range}]/.{Sin->s,Cos->c};
ToRadicals@Union@@@points,c^2+s^2==1}],{c,s,x0,y0,r}]])] wayne 发表于 2024-9-12 18:37
(1)。Solve[{x1^3 - 9 x1/2 == y1 - 1, x2^3 - 9 x2/2 == y2 - 1, x1^2 + (y1 - 1)^2 == x2^2 + (y2 - 1)^2 == S/2, x1/(y1 - 1) == (1 - y2)/x2, x1 > x2 > 0}, {x1, x2, y1, y2, S}] // FullSimplify
(2)。Solve[{S/2 == x1^2 + (x1^3 - 9 x1/2)^2 == x2^2 + (x2^3 - 9 x2/2)^2 == x1^2 + x2^2, x1 > x2 > 0}, {x1, x2, S}] // FullSimplify // ToRadicals
(2)。怎么就错了？ 这个三次函数图像如图先增再减再增
然后对于正方形，必然有一个点（比如A）在最左边，然后根据从左到右四个点顺序，有如下图两种可能分布
显然根据函数先增再减再增，那么只能选蓝色类型而不能绿色。
然后如下图
正方形AD两点显然只能在曲线上B-F区间之间。
另外注意到对于位于BF区间的任意两条平行线，线段长度在平移过程是单调变化的（还没有证明，但是看上去很显目）
如果目标正方形不关于曲线中心O中心对称，那么做中心对称，我们可以得到两个边相互平行边长相等的正方形，同上面平行线段长度单调变化矛盾。
所以目标正方形关于O中心对称。
证明一组平行线割出线段长度单调可以如下。
假设如图一条线段两端点横坐标为x1,x2.我们只需要证明(x2-x1)^2单调。
将两端点坐标代入曲线方程，然后两式相减，再左右同时除以x2-x1,利用直线方向固定可得x1^2+x1x2+x2^2是常数。也就是(x1-x2)^2+3(x1+x2)^2是常数。
又假设次线段延长线交曲线到第三点，横坐标为x3,显然平移时x3单调变化。而容易利用韦达定理得出x1+x2+x3为常数，所以x1+x2单调。于是只要x1+x2<0时结论成立，对于我们需要的场景显然满足要求