求3次曲线y=x³-9/2 x+1的内接正方形的面积

nyy

知乎上的一个趣题：
已知一个正方形ABCD的四个顶点都在函数$f(x)=x^3-9/2 x+1$的图像上，则此正方形的面积为？四个点的坐标是？

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. y1=x1^3-9*x1/2+1
   
3. y2=x2^3-9*x2/2+1
   
4. y3=x3^3-9*x3/2+1
   
5. y4=x4^3-9*x4/2+1
   
6. ans=Solve[{
   
7.     (x1-x2)^2+(y1-y2)^2==
   
8.     (x2-x3)^2+(y2-y3)^2==
   
9.     (x3-x4)^2+(y3-y4)^2==
   
10.     (x4-x1)^2+(y4-y1)^2==
    
11.     ((x1-x3)^2+(y1-y3)^2)/2==
    
12.     ((x2-x4)^2+(y2-y4)^2)/2
    
13. },{x1,x2,x3,x4},Reals]
    

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方程组，目前弄不动

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=Solve[{
   
3.     y1==x1^3-9*x1/2+1,(*点在曲线上*)
   
4.     y2==x2^3-9*x2/2+1,(*点在曲线上*)
   
5.     (*假设(0,1)是正方形的中心,那么两个顶点到中心的距离相等,且互相垂直,复数旋转90°,得到另外一个复数*)
   
6.     ComplexExpand@ReIm[((x1-0)+(y1-1)*I)*I-((x2-0)+(y2-1)*I)]==0
   
7. },{x1,y1,x2,y2},Reals]//FullSimplify//ToRadicals
   
8. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   
9. (*求解正方形面积*)
   
10. aaa=2*((x1-0)^2+(y1-1)^2)/.ans//FullSimplify//ToRadicals
    

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方程组求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{x1}\to 0 & \text{y1}\to 1 & \text{x2}\to 0 & \text{y2}\to 1 \\
\text{x1}\to -\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y1}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}}+1 & \text{x2}\to -\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y2}\to 1-\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} \\
\text{x1}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y1}\to 1-\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{x2}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y2}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}}+1 \\
\text{x1}\to -\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y1}\to 1-\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{x2}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y2}\to 1-\sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} \\
\text{x1}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}} & \text{y1}\to \sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}}+1 & \text{x2}\to -\sqrt{\frac{5}{2}-\sqrt{5}} & \text{y2}\to \sqrt{\sqrt{5}+\frac{5}{2}}+1 \\
\text{x1}\to -\frac{1}{2} \sqrt{17-\sqrt{17}} & \text{y1}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\sqrt{17}+17}+2\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{17}+17} & \text{y2}\to 1-\frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} \\
\text{x1}\to \frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} & \text{y1}\to 1-\frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} & \text{x2}\to \frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} & \text{y2}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{17-\sqrt{17}}+2\right) \\
\text{x1}\to -\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{17}+17} & \text{y1}\to 1-\frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} & \text{x2}\to \frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{2} & \text{y2}\to 1-\frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} \\
\text{x1}\to \frac{\sqrt{\sqrt{17}+17}}{2} & \text{y1}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{17-\sqrt{17}}+2\right) & \text{x2}\to -\frac{1}{2} \sqrt{17-\sqrt{17}} & \text{y2}\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\sqrt{17}+17}+2\right) \\
\end{array}\]

每一行对应的正方形面积
{0, 10, 10, 10, 10, 17, 17, 17, 17}

nyy

nyy 发表于 2024-9-11 09:21
方程组求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{x1}\to 0 & \text{y1}\to 1 & \text{x2}\to 0 & \text{y2} ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. ans=Solve[{
   
3.     y==x^3-9*x/2+1,(*点在曲线上*)
   
4.     y==k*x+1
   
5. },{x,y}]//Simplify(*计算出对角线与三次曲线的交点*)
   
6. {{x1,y1},{x2,y2}}={x,y}/.ans[[2;;3]](*两个点赋值*)
   
7. aa=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2//FullSimplify(*用斜率来表达出对角线长度的平方*)
   
8. bb=Solve[aa==(aa/.{k->-1/k}),{k},Reals](*两条垂直的对角线的平方相等*)
   
9. cc=(aa/2)/.bb//FullSimplify(*对角线的乘积的一半=正方形面积*)
   

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求解结果
\[\left\{\{x\to 0,y\to 1\},\left\{x\to -\sqrt{k+\frac{9}{2}},y\to 1-k \sqrt{k+\frac{9}{2}}\right\},\left\{x\to \sqrt{k+\frac{9}{2}},y\to k \sqrt{k+\frac{9}{2}}+1\right\}\right\}\]

对角线的平方
\[2 (2 k+9) \left(k^2+1\right)\]

方程的根
\[\left\{\left\{k\to -\sqrt{5}-2\right\},\left\{k\to \sqrt{5}-2\right\},\left\{k\to \frac{1}{4} \left(-\sqrt{17}-1\right)\right\},\left\{k\to \frac{1}{4} \left(\sqrt{17}-1\right)\right\}\right\}\]

对应的面积
{10, 10, 17, 17}

wayne

1. 2r^2/.Solve[r>0&&Eliminate[Flatten[{Table[Apply[Function[{x,y},x^3-9/2x+1-y==0],{x0,y0}+r {Cos[t+a],Sin[t+a]}],{a,2Pi/4*Range[4]}]/.{Sin[t]->s,Cos[t]->c},c^2+s^2==1}],{c,s,x0,y0}]]

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王守恩

吓坏了！冒出那么多按钮！高人面前不敢造次。我只是虚心的想学一点(也是学不了)！

1. Solve[Eliminate[Flatten[{Table[Apply[Function[{x, y}, x^3 - 9 x/2 == y - 1], {0, 1} + r {Cos[t + a], Sin[t + a]}], {a, Range[4] Pi/2}]}], {t}]]

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{{r -> 0}, {r -> -Sqrt[5]}, {r -> Sqrt[5]}, {r -> -Sqrt[(17/2)]}, {r -> Sqrt[17/2]}}

就想把 x, y, t 拉出来！可就是拉不出来了。

wayne

1. points=Table[{x0,y0}+r {Cos[t+a],Sin[t+a]},{a,2Pi/4*Range[4]}]/.{Sin[t]->s,Cos[t]->c};
   
2. ToRadicals@Union[Sort/@(RootReduce[points/.Solve[Flatten[{r>0,Function[{x,y},x^3-9/2x+1-y==0]@@@points,c^2+s^2==1}],{c,s,x0,y0,r}]])]

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王守恩

wayne 发表于 2024-9-12 18:37

1. (1)。Solve[{x1^3 - 9 x1/2 == y1 - 1, x2^3 - 9 x2/2 == y2 - 1, x1^2 + (y1 - 1)^2 == x2^2 + (y2 - 1)^2 == S/2, x1/(y1 - 1) == (1 - y2)/x2, x1 > x2 > 0}, {x1, x2, y1, y2, S}] // FullSimplify
   
2. (2)。Solve[{S/2 == x1^2 + (x1^3 - 9 x1/2)^2 == x2^2 + (x2^3 - 9 x2/2)^2 == x1^2 + x2^2, x1 > x2 > 0}, {x1, x2, S}] // FullSimplify // ToRadicals

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(2)。怎么就错了？

mathe

这个三次函数图像如图先增再减再增

然后对于正方形，必然有一个点（比如A）在最左边，然后根据从左到右四个点顺序，有如下图两种可能分布

显然根据函数先增再减再增，那么只能选蓝色类型而不能绿色。
然后如下图

正方形AD两点显然只能在曲线上B-F区间之间。
另外注意到对于位于BF区间的任意两条平行线，线段长度在平移过程是单调变化的（还没有证明，但是看上去很显目）
如果目标正方形不关于曲线中心O中心对称，那么做中心对称，我们可以得到两个边相互平行边长相等的正方形，同上面平行线段长度单调变化矛盾。
所以目标正方形关于O中心对称。

mathe

证明一组平行线割出线段长度单调可以如下。
假设如图一条线段两端点横坐标为x1,x2.我们只需要证明(x2-x1)^2单调。
将两端点坐标代入曲线方程，然后两式相减，再左右同时除以x2-x1,利用直线方向固定可得x1^2+x1x2+x2^2是常数。也就是(x1-x2)^2+3(x1+x2)^2是常数。
又假设次线段延长线交曲线到第三点，横坐标为x3,显然平移时x3单调变化。而容易利用韦达定理得出x1+x2+x3为常数，所以x1+x2单调。于是只要x1+x2<0时结论成立，对于我们需要的场景显然满足要求